Estudar a continuidade das seguintes funções no ponto a indicado:
(a) $a=\pi, f(x)=\left{ \begin{array}{ll}0 & \text { se } x \leq \pi \\ x & \text { se } x>\pi\end{array}\right.);

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função no ponto a=\pi\). As informações dadas são: - A função é dada por \[f(x)=\begin{cases} 0 & \text{se } x\le \pi,\\[4pt] x & \text{se } x>\pi. \end{cases}
  • O ponto onde devemos investigar a continuidade é (a=\pi].
A pergunta concreta é: a função f é contínua em x=\pi?]

Passo 2

Primeiro, uma lembrança clara do que significa "função contínua em a". Vou explicar com calma.
  • Definição prática: f é contínua em a se e só se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isto significa duas coisas que devemos checar:
  1. O limite \lim_{x\to a} f(x) existe.
  2. Esse limite é igual ao valor f(a).
  • Como checar existência do limite numa função piecewise: o limite \lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Se as duas forem diferentes, o limite central não existe e, portanto, a função não é contínua em a.
Vou usar exatamente essa rota: calcular f(a), depois os limites laterais \lim_{x\to \pi^-} f(x) e \lim_{x\to \pi^+} f(x), e comparar.

Passo 3

Calcular f(a), isto é f(\pi).
Pela definição da função, para x\le \pi vale f(x)=0. Como \pi\le\pi, então
f(\pi)=0.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to \pi^-} f(x).
Para x próximos de \pi e menores que \pi (aproximação pela esquerda) a definição da função dá f(x)=0 (é constante nessa vizinhança à esquerda). Logo, ao aproximar x por valores menores que \pi, f(x) permanece 0. Portanto
\lim_{x\to \pi^-} f(x)=0.
Explicação didática curta: se numa vizinhança à esquerda de \pi a função tem sempre valor 0, então a soma dos valores tende a 0.

Passo 5

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to \pi^+} f(x).
Para x>\pi a função está definida por f(x)=x. A função identidade x\mapsto x é contínua, então ao aproximar x de \pi por valores maiores, f(x)=x tende a \pi. Logo
\lim_{x\to \pi^+} f(x)=\pi.

Passo 6

Comparar os limites laterais e relacionar com f(\pi).
  • Encontramos \lim_{x\to \pi^-} f(x)=0.
  • Encontramos \lim_{x\to \pi^+} f(x)=\pi.
    Como 0\neq\pi, os limites laterais são diferentes, portanto \lim_{x\to \pi} f(x) não existe. Se o limite não existe, a condição de continuidade \lim_{x\to \pi} f(x)=f(\pi) falha automaticamente. Conclusão: a função não é contínua em \pi.
Comentário didático: esse tipo de descontinuidade, em que os limites laterais existem mas são diferentes, chama-se descontinuidade de salto.

Passo 7

(Argumento alternativo, mais formal, para convencer quem gosta de \varepsilon- \delta.) Suponha, por absurdo, que \lim_{x\to\pi} f(x)=L existe. Então qualquer sequência x_n\to\pi teria f(x_n)\to L. Pegue uma sequência x_n=\pi-\tfrac{1}{n} então f(x_n)=0 para todo n, logo L=0. Pegue outra sequência y_n=\pi+\tfrac{1}{n} então f(y_n)=\pi+\tfrac{1}{n} e f(y_n)\to\pi, logo L=\pi. Isso dá 0=\pi, contradição. Portanto o limite não existe e a função é descontínua em \pi.

Resposta

A função não é contínua em a=\pi (trata-se de uma descontinuidade de salto).

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