Estudar a continuidade das seguintes funções no ponto
indicado:
(a) $a=\pi, f(x)=\left{
\right.);
(a) $a=\pi, f(x)=\left{
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade da função no ponto
- O ponto onde devemos investigar a continuidade é (a=\pi].
A pergunta concreta é: a função
é contínua em
?]
Passo 2
Primeiro, uma lembrança clara do que significa "função contínua em
". Vou explicar com calma.
- Definição prática:
é contínua em se e só se
Isto significa duas coisas que devemos checar:
- O limite
existe. - Esse limite é igual ao valor
.
- Como checar existência do limite numa função piecewise: o limite
existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais:
Se as duas forem diferentes, o limite central não existe e, portanto, a função não é contínua em
.
Vou usar exatamente essa rota: calcular
, depois os limites laterais
e
, e comparar.
Passo 3
Calcular
, isto é
.
Pela definição da função, para
vale
. Como
, então
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda
.
Para
próximos de
e menores que
(aproximação pela esquerda) a definição da função dá
(é constante nessa vizinhança à esquerda). Logo, ao aproximar
por valores menores que
,
permanece
. Portanto
Explicação didática curta: se numa vizinhança à esquerda de
a função tem sempre valor
, então a soma dos valores tende a
.
Passo 5
Calcular o limite pela direita
.
Para
a função está definida por
. A função identidade
é contínua, então ao aproximar
de
por valores maiores,
tende a
. Logo
Passo 6
Comparar os limites laterais e relacionar com
.
- Encontramos
. - Encontramos
.
Como, os limites laterais são diferentes, portanto não existe. Se o limite não existe, a condição de continuidade falha automaticamente. Conclusão: a função não é contínua em .
Comentário didático: esse tipo de descontinuidade, em que os limites laterais existem mas são diferentes, chama-se descontinuidade de salto.
Passo 7
(Argumento alternativo, mais formal, para convencer quem gosta de
-
.) Suponha, por absurdo, que
existe. Então qualquer sequência
teria
. Pegue uma sequência
então
para todo
, logo
. Pegue outra sequência
então
e
, logo
. Isso dá
, contradição. Portanto o limite não existe e a função é descontínua em
.
Resposta
A função não é contínua em
(trata-se de uma descontinuidade de salto).