Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
sumn=1^infty 2 n^2n^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série sumn=1^infty 2 n^2n^3+1 satisfaz as condições do Teste da Integral e, com isso, decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. No caso, o termo geral é:
an = 2 n^2n^3 + 1
Para aplicar o Teste da Integral, precisamos estender essa função para valores contínuos de n. Então, definimos a função f(x) como:
f(x) = 2 x^2x^3 + 1

Passo 3

Agora, vamos verificar se f(x) atende às hipóteses do Teste da Integral:
  1. Continuidade: A função f(x) é contínua para x >= 1, já que o denominador x^3 + 1 nunca é zero nesse intervalo.
  2. Positividade: Para x >= 1, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então f(x) > 0.
  3. Decrescente: Vamos verificar se f(x) está diminuindo. Observando o comportamento de f(x) à medida que x aumenta, percebemos que o denominador cresce mais rapidamente que o numerador, fazendo com que f(x) diminua.
Como todas as condições são atendidas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

O Teste da Integral nos diz que a série sumn=1^infty an converge se a integral integral1^infty f(x) , dx convergir. Vamos calcular essa integral:
integral1^infty 2 x^2x^3 + 1 , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe u = x^3 + 1, então du = 3x^2 dx, o que implica que x^2 dx = du3. Substituindo:
integral 2 x^2x^3 + 1 , dx = 23 integral 1u , du = 23 ln|u| + C = 23 ln(x^3 + 1) + C
Agora, avaliando o limite de x tendendo ao infinito:
limb to infty 23 ln(b^3 + 1) - 23 ln(2) = infty
A integral diverge para infinito.

Resposta

Como a integral integral1^infty 2 x^2x^3 + 1 , dx diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty 2 n^2n^3+1 também diverge.

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