Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série
satisfaz as condições do Teste da Integral e, com isso, decidir se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. No caso, o termo geral é:
Para aplicar o Teste da Integral, precisamos estender essa função para valores contínuos de
. Então, definimos a função
como:
Passo 3
Agora, vamos verificar se
atende às hipóteses do Teste da Integral:
-
Continuidade: A função
é contínua para , já que o denominador nunca é zero nesse intervalo. -
Positividade: Para
, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então . -
Decrescente: Vamos verificar se
está diminuindo. Observando o comportamento de à medida que aumenta, percebemos que o denominador cresce mais rapidamente que o numerador, fazendo com que diminua.
Como todas as condições são atendidas, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
O Teste da Integral nos diz que a série
converge se a integral
convergir. Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
, o que implica que
. Substituindo:
Agora, avaliando o limite de
tendendo ao infinito:
A integral diverge para infinito.
Resposta
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.