Verifique se as seguintes integrais dependem ou não do caminho:
.
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
e pede para verificar se ela depende do caminho. Isso é um problema de campos vetoriais: vamos ver se o campo
, com
e
, é conservativo.
Passo 2
O domínio natural de
é o plano
, que é simplesmente conexo, e as funções
e
são
. Numa região simplesmente conexa basta checar se
para concluir que o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, usando o produto e a regra da cadeia temos:
Passo 4
Agora calculamos
. Como
,
Passo 5
Como
em todo
, o campo é conservativo e a integral independe do caminho.
Passo 6
Para completar, encontramos uma função potencial
. Integrando
em
:
Passo 7
Derivando em
e igualando a
vemos que
. Logo
Resposta
A integral independe do caminho, pois o campo é conservativo em
. Uma função potencial é
.