Verifique se as seguintes integrais dependem ou não do caminho:
integralC(1+x y) e^x y d x+(x^2 e^x y) d y.

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha integralC(1+xy)e^xy,dx + (x^2 e^xy),dy e pede para verificar se ela depende do caminho. Isso é um problema de campos vetoriais: vamos ver se o campo F=(P,Q), com P=(1+xy)e^xy e Q=x^2e^xy, é conservativo.

Passo 2

O domínio natural de F é o plano R^2, que é simplesmente conexo, e as funções P e Q são C^1. Numa região simplesmente conexa basta checar se partial Ppartial y=partial Qpartial x para concluir que o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular partial Ppartial y. Como P=(1+xy)e^xy, usando o produto e a regra da cadeia temos:
partial Ppartial y = x e^xy + (1+xy)cdot x e^xy = 2x e^xy + x^2y e^xy

Passo 4

Agora calculamos partial Qpartial x. Como Q=x^2e^xy,
partial Qpartial x = 2x e^xy + x^2cdot y e^xy = 2x e^xy + x^2y e^xy

Passo 5

Como partial Ppartial y=partial Qpartial x em todo R^2, o campo é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 6

Para completar, encontramos uma função potencial phi(x,y). Integrando P em x:
phi(x,y)=integral (1+xy)e^xy,dx = x e^xy + h(y)

Passo 7

Derivando em y e igualando a Q vemos que h'(y)=0. Logo
phi(x,y)=x e^xy+C

Resposta

A integral independe do caminho, pois o campo é conservativo em R^2. Uma função potencial é phi(x,y)=x e^xy+C.

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