Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: precisamos verificar se a função que representa o n-ésimo termo da série
atende às condições do Teste da Integral. Depois disso, vamos decidir se a série converge ou não.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e séries infinitas, especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries cujo termo geral é uma função positiva, contínua e decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. Temos:
Precisamos estender essa função para valores contínuos de x, ou seja, definir uma função f(x) tal que:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função f(x) atende às hipóteses do Teste da Integral:
- Positividade: Para quais valores de x a função f(x) é positiva?
Observe que
quando
ou
. Porém, como estamos somando de n=1 ao infinito, consideramos x > 1. Assim, para x > 1:
- Continuidade: A função f(x) é contínua para x > 1?
Sim, exceto nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, x = 1 e x = -1. Mas como estamos considerando x > 1, f(x) é contínua nesse intervalo.
- Decrescente: A função f(x) é decrescente para x > 1?
Vamos verificar a derivada de f(x):
Para x > 1, o numerador (-2x) é negativo e o denominador
é positivo. Portanto, f’(x) < 0, o que significa que f(x) é decrescente para x > 1.
Como todas as condições do Teste da Integral são satisfeitas, podemos aplicá-lo para determinar a convergência da série.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Precisamos calcular a integral imprópria de f(x) de 1 a infinito:
Vamos resolver essa integral.
Passo 5
Para resolver a integral, podemos simplificar o denominador:
Expressamos a fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar os valores de A e B, escolhemos valores de x que simplifiquem a equação:
- Para x = 1:
- Para x = -1:
Então,
Passo 6
Agora, integramos:
As integrais de
são padrões:
Portanto,
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral imprópria de 1 a infinito:
Simplificando:
No limite, para
,
Então,
E na parte inferior da integral,
:
Então, a integral converge para um valor finito.
Resposta
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
também converge.