Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
sumn=1^infty 1n^2-1

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: precisamos verificar se a função que representa o n-ésimo termo da série sumn=1^infty 1n^2-1 atende às condições do Teste da Integral. Depois disso, vamos decidir se a série converge ou não.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e séries infinitas, especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries cujo termo geral é uma função positiva, contínua e decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. Temos:
an = 1n^2 - 1
Precisamos estender essa função para valores contínuos de x, ou seja, definir uma função f(x) tal que:
f(x) = 1x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função f(x) atende às hipóteses do Teste da Integral:
  1. Positividade: Para quais valores de x a função f(x) é positiva?
Observe que x^2 - 1 > 0 quando x > 1 ou x < -1. Porém, como estamos somando de n=1 ao infinito, consideramos x > 1. Assim, para x > 1:
f(x) = 1x^2 - 1 > 0
  1. Continuidade: A função f(x) é contínua para x > 1?
Sim, exceto nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, x = 1 e x = -1. Mas como estamos considerando x > 1, f(x) é contínua nesse intervalo.
  1. Decrescente: A função f(x) é decrescente para x > 1?
Vamos verificar a derivada de f(x):
f'(x) = ddx ( 1x^2 - 1 ) = -2x(x^2 - 1)^2
Para x > 1, o numerador (-2x) é negativo e o denominador (x^2 - 1)^2 é positivo. Portanto, f’(x) < 0, o que significa que f(x) é decrescente para x > 1.
Como todas as condições do Teste da Integral são satisfeitas, podemos aplicá-lo para determinar a convergência da série.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Precisamos calcular a integral imprópria de f(x) de 1 a infinito:
integral1^infty 1x^2 - 1 , dx
Vamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver a integral, podemos simplificar o denominador:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Expressamos a fração usando frações parciais:
1x^2 - 1 = Ax - 1 + Bx + 1
Multiplicando ambos os lados por (x^2 - 1):
1 = A(x + 1) + B(x - 1)
Para encontrar os valores de A e B, escolhemos valores de x que simplifiquem a equação:
  • Para x = 1:
1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12
  • Para x = -1:
1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12
Então,
1x^2 - 1 = 1/2x - 1 - 1/2x + 1

Passo 6

Agora, integramos:
integral 1x^2 - 1 , dx = 12 integral 1x - 1 , dx - 12 integral 1x + 1 , dx
As integrais de 1x - a são padrões:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C
Portanto,
12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
12 ln(x - 1x + 1) + C

Passo 7

Agora, avaliamos a integral imprópria de 1 a infinito:
integral1^infty 1x^2 - 1 , dx = limt to infty [ 12 ln(t - 1t + 1) - 12 ln(1 - 11 + 1) ]
Simplificando:
No limite, para t to infty,
t - 1t + 1 approx tt = 1
Então,
ln(1) = 0
E na parte inferior da integral, x = 1:
1 - 11 + 1 = 0 Rightarrow ln(0) é indefinido, mas consideramos o limite é
Então, a integral converge para um valor finito.

Resposta

Como a integral integral1^infty 1x^2 - 1 , dx converge, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty 1n^2-1 também converge.

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