Calcule
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular $ f^{\prime}(0) $, onde a função é dada por
Isso envolve cálculo de derivadas de funções complexas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente para derivar funções compostas e frações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função $ f(z) $. Ela é composta por uma fração elevada ao cubo. Então, podemos definir uma função intermediária para facilitar:
Assim, temos:
Passo 3
Para encontrar $ f^{\prime}(0) $, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta $ [g(z)]^{3} $ é:
Então, precisamos primeiro achar $ g(0) $ e $ g^{\prime}(0) $.
Passo 4
Vamos calcular $ g(0) $:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ g(z) $. Temos uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
onde:
A derivada de $ g(z) $ será:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de $ u(z) $ e $ v(z) $:
Passo 7
Agora, substituímos na expressão de $ g^{\prime}(z) $:
Simplificando:
Observamos que os termos com $ z^{2} $ se cancelam:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ g^{\prime}(0) $:
Substituindo $ z = 0 $ na expressão simplificada:
Calculando o denominador:
E o numerador:
Então:
Passo 9
Agora que temos $ g(0) = 0 $ e $ g^{\prime}(0) = \frac{2 - 4i}{9} $, voltamos à expressão de $ f^{\prime}(z) $:
Substituindo $ z = 0 $:
Resposta
$ f^{\prime}(0) = 0 $