Calcule f^prime(0) onde
f(z)=((4+2 i) z(2-i) z^2+9 i)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular $ f^{\prime}(0) $, onde a função é dada por
f^prime(0)
Isso envolve cálculo de derivadas de funções complexas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente para derivar funções compostas e frações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função $ f(z) $. Ela é composta por uma fração elevada ao cubo. Então, podemos definir uma função intermediária para facilitar:
f(z)
Assim, temos:
g(z) = (4 + 2i) z(2 - i) z^2 + 9i

Passo 3

Para encontrar $ f^{\prime}(0) $, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta $ [g(z)]^{3} $ é:
f^prime(0)
Então, precisamos primeiro achar $ g(0) $ e $ g^{\prime}(0) $.

Passo 4

Vamos calcular $ g(0) $:
g(0)

Passo 5

Agora, vamos derivar $ g(z) $. Temos uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
g(z)
onde:
g(z) = u(z)v(z)
u(z) = (4 + 2i) z
A derivada de $ g(z) $ será:
v(z) = (2 - i) z^2 + 9i

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de $ u(z) $ e $ v(z) $:
u(z)
v(z)

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de $ g^{\prime}(z) $:
g^prime(z)
Simplificando:
g^prime(z) = (4 + 2i)[(2 - i) z^2 + 9i] - (4 + 2i) z cdot 2 (2 - i) z[(2 - i) z^2 + 9i]^2
Observamos que os termos com $ z^{2} $ se cancelam:
g^prime(z) = (4 + 2i)(2 - i) z^2 + (4 + 2i)(9i) - 2(4 + 2i)(2 - i) z^2[(2 - i) z^2 + 9i]^2

Passo 8

Agora, vamos calcular $ g^{\prime}(0) $:
Substituindo $ z = 0 $ na expressão simplificada:
g^prime(0)
Calculando o denominador:
z = 0
E o numerador:
g^prime(0) = (4 + 2i)(9i)[(2 - i) cdot 0^2 + 9i]^2 = (4 + 2i)(9i)(9i)^2
Então:
(9i)^2 = 81 i^2 = 81 (-1) = -81

Passo 9

Agora que temos $ g(0) = 0 $ e $ g^{\prime}(0) = \frac{2 - 4i}{9} $, voltamos à expressão de $ f^{\prime}(z) $:
g(0) = 0
Substituindo $ z = 0 $:
g^prime(0) = 2 - 4i9

Resposta

$ f^{\prime}(0) = 0 $

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