Encontre as soluçōes gerais das seguintes equações dadas:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de ordem
Trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a ideia de operador diferencial e a expansão binomial.
Passo 2
Chame
o operador
. Note que ao expandir
pelo binômio de Newton obtemos
Como
, vemos que os coeficientes coincidem exatamente com os dados na equação.
Passo 3
Portanto a equação pode ser escrita como
A equação característica associada é
cuja única raiz é
com multiplicidade
.
Passo 4
Quando a raiz
aparece com multiplicidade
, a solução geral da equação homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.