Encontre as soluçōes gerais das seguintes equações dadas:
a) y^{(n)}+n y^{(n-1)}+\frac{n(n-1)}{1.2} y^{(n-2)}+\ldots+\frac{n}{1} y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de ordem n
y^{(n)} + n\,y^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{1\cdot2}\,y^{(n-2)} + \cdots + \frac{n}{1}\,y' + y = 0.
Trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a ideia de operador diferencial e a expansão binomial.

Passo 2

Chame D o operador D=\frac{d}{dx}. Note que ao expandir (D+1)^n pelo binômio de Newton obtemos
(D+1)^n \;=\;\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D^{\,n-k}1^k \;=\;D^n + n\,D^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}D^{n-2} + \cdots + n\,D + 1.
Como \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, vemos que os coeficientes coincidem exatamente com os dados na equação.

Passo 3

Portanto a equação pode ser escrita como
(D+1)^n y = 0.
A equação característica associada é
(r+1)^n = 0,
cuja única raiz é r=-1 com multiplicidade n.

Passo 4

Quando a raiz r=-1 aparece com multiplicidade n, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = \big(C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \cdots + C_{n-1}x^{n-1}\big)e^{-x},
onde C_0,C_1,\dots,C_{n-1} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = \big(C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \cdots + C_{n-1}x^{n-1}\big)e^{-x}.

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