Verifique que a função
definida por
é bijetora e determine sua inversa.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrarmos que ela é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora) e para determinar
. Para isso, vamos usar a definição de injetividade e surjetividade e em seguida resolver a equação
para achar a inversa.
Passo 2
Verificando a injetividade: suponha que existam
tais que
Isso significa
Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
, obtemos
Como
e
devem ser iguais sempre que
, concluímos que
é injetora.
Passo 3
Verificando a surjetividade: seja
um valor qualquer de chegada. Queremos achar
tal que
ou seja,
Resolvendo para
, temos
Como para todo
existe
que satisfaz
, a função é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. A partir da solução do passo anterior, a função inversa é dada por
Resposta
A função
é bijetora e sua inversa é