Verifique que a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=3 x+5 é bijetora e determine sua inversa.

Passo 1

O enunciado define a função
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=3x+5
e pede para mostrarmos que ela é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora) e para determinar f^{-1}. Para isso, vamos usar a definição de injetividade e surjetividade e em seguida resolver a equação y=3x+5 para achar a inversa.

Passo 2

Verificando a injetividade: suponha que existam x_1,x_2\in\mathbb{R} tais que
f(x_1)=f(x_2).
Isso significa
3x_1+5 = 3x_2+5.
Subtraindo 5 de ambos os lados e dividindo por 3, obtemos
x_1 = x_2.
Como x_1 e x_2 devem ser iguais sempre que f(x_1)=f(x_2), concluímos que f é injetora.

Passo 3

Verificando a surjetividade: seja y\in\mathbb{R} um valor qualquer de chegada. Queremos achar x\in\mathbb{R} tal que
f(x)=y,
ou seja,
3x+5 = y.
Resolvendo para x, temos
3x = y - 5 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{y-5}{3}.
Como para todo y\in\mathbb{R} existe x=(y-5)/3 que satisfaz f(x)=y, a função é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. A partir da solução do passo anterior, a função inversa é dada por
f^{-1}(y) = \frac{y - 5}{3}.

Resposta

A função f(x)=3x+5 é bijetora e sua inversa é
f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3}.

Exercícios relacionados