Determine a equação do plano contendo duas retas (paralelas) r(t)=(0,1,-2)+ t(2,3,-1) e s(t)=(2,-1,0)+t(2,3,-1) R. 4 x-6 y-10 z=14.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém duas retas paralelas
r(t) = (0,1,-2) + t\,(2,3,-1)
e
s(t) = (2,-1,0) + t\,(2,3,-1).
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para achar o plano determinado por duas retas paralelas, usamos
  1. o vetor diretor comum delas,
  2. dois pontos distintos (um de cada reta) para formar um vetor que liga esses pontos,
  3. o produto vetorial desses dois vetores para obter a normal do plano,
  4. e finalmente a equação do plano a partir da normal e de um dos pontos.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor comum às duas retas:
\mathbf{d} = (2,3,-1).
Escolhemos um ponto de cada reta, por exemplo em t=0:
Ponto em r: \displaystyle P_0=(0,1,-2).
Ponto em s: \displaystyle Q_0=(2,-1,0).

Passo 3

Formamos o vetor que liga P_0 a Q_0:
\mathbf{v} = Q_0 - P_0 = (2,-1,0) - (0,1,-2) = (2,\,-2,\,2).

Passo 4

A normal \mathbf{n} do plano é dada pelo produto vetorial \mathbf{d}\times\mathbf{v}:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ 2 & -2 & 2 \end{vmatrix} = (3\cdot2 - (-1)(-2),\;- (2\cdot2 - (-1)\cdot2),\;2\cdot(-2) - 3\cdot2) = (4,\,-6,\,-10).
Podemos simplificar a normal dividindo por 2, mas não é obrigatório.

Passo 5

Com \mathbf{n}=(4,-6,-10) e o ponto P_0=(0,1,-2), a equação do plano é
4(x-0) -6(y-1) -10(z+2) = 0.
Distribuindo:
4x -6y +6 -10z -20 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x -6y -10z = 14.

Resposta

A equação do plano é
4x - 6y - 10z = 14.

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