Resolva pelo método de separação de variáveis:
(\mathrm{k})\left\{\begin{array}{l}u_{x x}+u_{y y}=0 \\\ u(0, y)=0, \quad u(a, y)=y \\\ u(x, 0)=0, \quad u(x, b)=0\end{array}\right. Aqui também o problema para a função X(x) será diferente. Ver exercício 2.d) da Lista 7.

Passo 1

O enunciado pede a solução de
u_{xx}+u_{yy}=0
no retângulo 0<x<a, 0<y<b com condições de contorno
u(0,y)=0,\quad u(a,y)=y,\quad u(x,0)=0,\quad u(x,b)=0.
Vamos usar o método de separação de variáveis, mas antes faremos uma decomposição para homogeneizar três das quatro condições.

Passo 2

Procuramos uma função harmônica h(x,y) que satisfaça
h(0,y)=0,\quad h(a,y)=y,\quad h(x,0)=0.
Uma escolha simples é
h(x,y)=\frac{x}{a}\,y,
pois de fato h_{xx}+h_{yy}=0 e
h(0,y)=0,\quad h(a,y)=y,\quad h(x,0)=0,\quad h(x,b)=\frac{x}{a}\,b.

Passo 3

Definimos \varphi(x,y)=u(x,y)-h(x,y). Então \varphi satisfaz
\phi_{xx}+\phi_{yy}=0
com contornos
\varphi(0,y)=0,\quad \varphi(a,y)=0,\quad \varphi(x,0)=0,\quad \varphi(x,b)=-h(x,b)=-\frac{b\,x}{a}.

Passo 4

Aplicamos separação \varphi(x,y)=X(x)\,Y(y). Isso leva a
\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=\lambda^2.
As condições X(0)=X(a)=0 dão autofunções
X_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),\quad \lambda_n=\tfrac{n\pi}{a},\quad n=1,2,\dots
e de Y(0)=0 vem
Y_n(y)=\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr).
Logo
\varphi(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr).

Passo 5

Impondo \varphi(x,b)=-\tfrac{b\,x}{a}, obtemos
-\frac{b\,x}{a} =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr).
Os coeficientes vêm da expansão de Fourier em seno:
A_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr) =\frac{2}{a}\int_{0}^{a}\Bigl(-\frac{b\,x}{a}\Bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx =-\frac{2b}{a^2}\int_{0}^{a}x\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx.
Calcula-se
\int_{0}^{a}x\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx =(-1)^{\,n+1}\frac{a^2}{n\pi},
logo
A_n=\frac{(-1)^n\,2b}{n\pi\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)}.

Passo 6

Assim
\varphi(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2b}{n\pi\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr),
e finalmente
u(x,y)=h(x,y)+\varphi(x,y) =\frac{x\,y}{a} +\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2b}{n\pi\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr).

Resposta

\boxed{u(x,y) =\frac{x\,y}{a} +\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2b}{n\pi\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr).}

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