Verifique se a função f(x)=x^2 é integrável no intervalo [ 0,1 ] segundo Riemann.

Passo 1

Temos a função f(x)=x² definida em [0,1] e queremos verificar se ela é integrável segundo Riemann neste intervalo. O conteúdo é a definição de integrabilidade de Riemann via somas de Darboux e vamos precisar usar propriedades de supremum e ínfimum em subintervalos.

Passo 2

Uma função f é Riemann–integrável em [a,b] se, para todo ε>0, existe uma partição P de [a,b] tal que a diferença entre a soma superior U(f,P) e a soma inferior L(f,P) seja menor que ε. Aqui definimos: • U(f,P)=∑ₙ Mᵢ·Δxᵢ onde Mᵢ=sup
f em [xᵢ₋₁,xᵢ] • L(f,P)=∑ₙ mᵢ·Δxᵢ onde mᵢ=inf
f em [xᵢ₋₁,xᵢ]

Passo 3

Como f(x)=x² é crescente em [0,1], em cada subintervalo [xᵢ₋₁,xᵢ] temos mᵢ=f(xᵢ₋₁)=(xᵢ₋₁)² e Mᵢ=f(xᵢ)=xᵢ². Vamos escolher uma partição Pₙ de n subintervalos iguais, com xᵢ=i/n e Δx=1/n.

Passo 4

A soma superior e a soma inferior ficam:
U(f,Pₙ)=sumi=1^n xi^2,De
L(f,Pₙ)=sumi=1^n (xi-1)^2,De

Passo 5

Agora calculamos a diferença:
U(f,Pₙ)-L(f,Pₙ)=1nsumi=1^nl[l(inr)^2-l(i-1nr)^2r] =1nsumi=1^n2i-1n^2 =1n^3sumi=1^n(2i-1) =1n^3cdot n^2 =1n

Passo 6

Como para qualquer ε>0 podemos escolher n>1/ε e garantir U(f,Pₙ)−L(f,Pₙ)<1/n<ε, concluímos que f(x)=x² é Riemann–integrável em [0,1].

Resposta

Sim, f(x)=x² é integrável no intervalo [0,1] segundo Riemann.

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