Verifique que a função f(x)=x-[[x]] é periódica de período 1 .

Passo 1

Temos a função f(x)=x-lfloor xrfloor, que corresponde à parte fracionária de x. O objetivo é verificar que ela é periódica de período 1. Matéria envolvida: definição de função periódica e propriedades da parte inteira.

Passo 2

Uma função f é periódica de período Tneq0 se, para todo x, valer f(x+T)=f(x). Aqui vamos testar T=1. Precisamos usar a propriedade da parte inteira: para qualquer x, vale lfloor x+1rfloor=lfloor xrfloor+1.

Passo 3

Calculemos f(x+1):
f(x+1)=(x+1)-lfloor x+1rfloor=(x+1)-(lfloor xrfloor+1)=x-lfloor xrfloor=f(x) Como f(x+1)=f(x) para todo x, concluímos que 1 é um período de f.

Resposta

1

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