O que se pede: verificar que f é contínua em (0,0).
Informações relevantes dadas:
Para (x,y)\neq(0,0) a função vale \dfrac{\sin(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}.
No ponto (0,0) a função foi definida com o valor 1.
Para mostrar continuidade em (0,0) precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1.]
Passo 2
Lembrete do que significa ser contínua em (0,0): a função f é contínua em (0,0) se o limite quando (x,y) tende a (0,0) existe e é igual ao valor f(0,0). Ou seja, precisamos provar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=1.
Formalmente (epsílon‑delta): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então \bigl|f(x,y)-1\bigr|<\varepsilon.
Passo 3
Redução do problema a uma única variável, usando r e t.
Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{(distância do ponto \((x,y)\) à origem).}âà
Então (x,y)\to(0,0) se, e só se, r\to0. Para (x,y)\neq(0,0) podemos escrever
Logo basta saber o valor do limite unidimensional \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}.
Passo 4
Explicação e justificativa do limite unidimensional \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1.
Conhecimento padrão (pode ser demonstrado por desigualdades geométricas ou por L’Hôpital): para t real próximo de 0 vale
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1 \qquad\text{para }0<t<\frac{\pi}{2}.
Isto ocorre porque, na construção geométrica do seno e da tangente no círculo unitário, obtém‑se as desigualdades \sin t < t < \tan t para t\in(0,\tfrac{\pi}{2}), que se rearranjam para a forma acima; para t<0 usa‑se a paridade do seno e do coseno (a função \sin t/t é par). Como \lim_{t\to0}\cos t=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
(Se preferir, também se pode obter o mesmo resultado aplicando a regra de L’Hôpital, tomando derivadas de \sin t e t.)
Passo 5
Transformando essa informação num argumento epsílon‑delta multivariável.
Do passo anterior sabemos que
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,
ou seja: para todo \varepsilon>0 existe \delta_{1}>0 tal que, se |t|<\delta_{1} então
\left|\frac{\sin t}{t}-1\right|<\varepsilon.
Agora use a mudança t=r^{2}=x^{2}+y^{2}. Seja \varepsilon>0 dado. Escolha \delta_{1}>0 associado acima e defina
\delta=\sqrt{\delta_{1}}.
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então x^{2}+y^{2}=r^{2}<\delta^{2}=\delta_{1}, ou seja |t|<\delta_{1}. Pelo que já sabemos, isso implica