Encontre as equações paramétricas da curva que é a elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as equações paramétricas da curva dada por \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1, com a orientação no sentido anti-horário.
Informações fornecidas e observações imediatas:
A curva é uma elipse centrada na origem (0,0).
Os termos indicam semi-eixos: \,a^{2}=4\Rightarrow a=2 na direção x e \,b^{2}=9\Rightarrow b=3 na direção y.
Precisamos de uma parametrização (x(t),y(t)) que percorra toda a elipse quando t varia por um intervalo apropriado, e que, ao aumentar t, o movimento seja anti-horário.
Passo 2
Idéia básica (sem resolver ainda): usar a parametrização do círculo unitário e depois escalonar nas direções x e y.
Lembrete útil (fórmula do círculo unitário):
X=\cos t,\qquad Y=\sin t
satisfazem
X^{2}+Y^{2}=1.
Essa é uma parametrização padrão do círculo unitário, onde t é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, em radianos. Quando t aumenta, o ponto (\cos t,\sin t) percorre o círculo no sentido anti-horário.
Passo 3
Construção da parametrização da elipse: para transformar o círculo unitário na elipse com semi-eixos a e b (ao longo dos eixos coordenados), basta escalonar o círculo nas direções x e y:
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t.
Aqui, a=2 e b=3. Logo a proposta é
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=3\sin t.
Agora verificamos que esta escolha realmente satisfaz a equação da elipse. Substituindo:
ou seja, no instante inicial o vetor tangente aponta para cima (direção positiva de y). Isso significa que, ao aumentar t a partir de 0, o ponto sai de (2,0) subindo para y>0 — movimento no sentido anti-horário. Como isso vale para qualquer volta inteira do parâmetro, a orientação é anti-horária para t crescente.
Passo 5
Resumo didático e dica prática para prova:
A técnica é sempre a mesma: parametrizar o círculo unitário por \cos e \sin e depois escalonar: x=a\cos t,\;y=b\sin t.
Lembre-se de comentar no enunciado que a é o semi-eixo em x e b o semi-eixo em y, e de verificar orientação checando o sinal do componente y para t pequeno positivo (ou avaliando a derivada em um ponto conhecido).
Exemplo simples extra: para a elipse \dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 teríamos x=\cos t,\;y=2\sin t.