Encontre as equações paramétricas da curva que é a elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as equações paramétricas da curva dada por \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1, com a orientação no sentido anti-horário.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A curva é uma elipse centrada na origem (0,0).
  • Os termos indicam semi-eixos: \,a^{2}=4\Rightarrow a=2 na direção x e \,b^{2}=9\Rightarrow b=3 na direção y.
  • Precisamos de uma parametrização (x(t),y(t)) que percorra toda a elipse quando t varia por um intervalo apropriado, e que, ao aumentar t, o movimento seja anti-horário.

Passo 2

Idéia básica (sem resolver ainda): usar a parametrização do círculo unitário e depois escalonar nas direções x e y.
Lembrete útil (fórmula do círculo unitário):
X=\cos t,\qquad Y=\sin t
satisfazem
X^{2}+Y^{2}=1.
Essa é uma parametrização padrão do círculo unitário, onde t é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, em radianos. Quando t aumenta, o ponto (\cos t,\sin t) percorre o círculo no sentido anti-horário.

Passo 3

Construção da parametrização da elipse: para transformar o círculo unitário na elipse com semi-eixos a e b (ao longo dos eixos coordenados), basta escalonar o círculo nas direções x e y:
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t.
Aqui, a=2 e b=3. Logo a proposta é
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=3\sin t.
Agora verificamos que esta escolha realmente satisfaz a equação da elipse. Substituindo:
\frac{[x(t)]^{2}}{4}+\frac{[y(t)]^{2}}{9} =\frac{(2\cos t)^{2}}{4}+\frac{(3\sin t)^{2}}{9} =\frac{4\cos^{2}t}{4}+\frac{9\sin^{2}t}{9} =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
portanto a parametrização está correta: para todo t tem-se um ponto da elipse.

Passo 4

Escolha do intervalo e demonstração da orientação anti-horária:
  • Intervalo: escolhendo t\in[0,2\pi) (ou t\in\mathbb{R}, reconhecendo a periodicidade 2\pi) a parametrização percorre a elipse uma vez completa.
  • Por que é anti-horária? Calculamos a derivada em função de t, que dá o vetor tangente:
\frac{d}{dt}\big(x(t),y(t)\big)=\big(-2\sin t,\;3\cos t\big).
Avalie em t=0:
\big(x(0),y(0)\big)=(2\cos 0,\,3\sin 0)=(2,0),
\frac{d}{dt}\big(x,y\big)\Big|_{t=0}=(-2\sin 0,\,3\cos 0)=(0,3),
ou seja, no instante inicial o vetor tangente aponta para cima (direção positiva de y). Isso significa que, ao aumentar t a partir de 0, o ponto sai de (2,0) subindo para y>0 — movimento no sentido anti-horário. Como isso vale para qualquer volta inteira do parâmetro, a orientação é anti-horária para t crescente.

Passo 5

Resumo didático e dica prática para prova:
  • A técnica é sempre a mesma: parametrizar o círculo unitário por \cos e \sin e depois escalonar: x=a\cos t,\;y=b\sin t.
  • Lembre-se de comentar no enunciado que a é o semi-eixo em x e b o semi-eixo em y, e de verificar orientação checando o sinal do componente y para t pequeno positivo (ou avaliando a derivada em um ponto conhecido).
  • Exemplo simples extra: para a elipse \dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 teríamos x=\cos t,\;y=2\sin t.

Resposta

x(t)=2\cos t,\; y(t)=3\sin t,\; t\in[0,2\pi)

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