Encontre a derivada direcional
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada direcional
para a função
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
- A função:
. - O ponto onde se avalia:
. - O vetor direção:
.
O que é pedido:
- Calcular a derivada direcional de
naquele ponto na direção de .
Passo 2
O que significa “derivada direcional”? Vou explicar de um jeito prático e sem enrolação.
Definição (forma limite): se
é um vetor unitário que indica a direção, a derivada direcional de
no ponto
na direção
é
Isto mede a taxa de variação de
quando a gente se desloca do ponto
na direção
.
Teorema prático (quando
é diferenciável): a derivada direcional pode ser obtida pelo produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
:
Aqui
é o vetor com as derivadas parciais no ponto
. Usamos o vetor unitário porque a derivada direcional deve medir variação por unidade de comprimento — se o vetor direção tiver outra norma, o valor muda só por escala.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
:
- Tratando
como constante, a derivada de é e é constante, logo
Derivada parcial em relação a
:
- Tratando
como constante, a derivada de é , portanto
Passo 4
Avaliar as parciais no ponto
.
Primeiro note que
,
e
.
Então
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Precisamos do vetor unitário na direção de
.
Calcule a norma de
:
O vetor unitário é
Explicando rapidinho: dividir pelo comprimento faz com que o vetor tenha comprimento
, que é o exigido na fórmula da derivada direcional.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula
. Fazendo o produto escalar componente a componente:
Calculemos passo a passo: fator comum
,
Simplificando,
Passo 7
Breve interpretação e motivação final (pra te animar): o valor positivo significa que, se você sair do ponto
na direção de
, a função
aumenta, e a taxa de aumento por unidade de comprimento nessa direção é
. Isso faz sentido porque o componente em
(positivo) aumenta
e o componente em
(negativo) altera o cosseno; o cálculo do gradiente captura exatamente essa combinação.