Encontre a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial v}\left(0, \frac{\pi}{4}\right), onde f(x, y)=e^{x} \cos y e v= (4,-3).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial v}\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right) para a função f(x,y)=e^{x}\cos y no ponto \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right) na direção do vetor v=(4,-3).
Informações dadas:
  • A função: f(x,y)=e^{x}\cos y.
  • O ponto onde se avalia: \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right).
  • O vetor direção: v=(4,-3).
O que é pedido:
  • Calcular a derivada direcional de f naquele ponto na direção de v.

Passo 2

O que significa “derivada direcional”? Vou explicar de um jeito prático e sem enrolação.
Definição (forma limite): se u é um vetor unitário que indica a direção, a derivada direcional de f no ponto P na direção u é
D_{u}f(P)=\lim_{h\to 0}\frac{f(P+h\,u)-f(P)}{h}.
Isto mede a taxa de variação de f quando a gente se desloca do ponto P na direção u.
Teorema prático (quando f é diferenciável): a derivada direcional pode ser obtida pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário u:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
Aqui \nabla f(P)=\bigl(f_x(P),\,f_y(P)\bigr) é o vetor com as derivadas parciais no ponto P. Usamos o vetor unitário porque a derivada direcional deve medir variação por unidade de comprimento — se o vetor direção tiver outra norma, o valor muda só por escala.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x}\cos y.
Derivada parcial em relação a x:
  • Tratando y como constante, a derivada de e^{x} é e^{x} e \cos y é constante, logo
f_x(x,y)=e^{x}\cos y.
Derivada parcial em relação a y:
  • Tratando x como constante, a derivada de \cos y é -\sin y, portanto
f_y(x,y)=-e^{x}\sin y.

Passo 4

Avaliar as parciais no ponto P=\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right).
Primeiro note que e^{0}=1, \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Então
f_x\!\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)=e^{0}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
f_y\!\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)=-e^{0}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f\!\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 5

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(4,-3).
Calcule a norma de v:
\|v\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
O vetor unitário é
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{4}{5},\;-\frac{3}{5}\right).
Explicando rapidinho: dividir pelo comprimento faz com que o vetor tenha comprimento 1, que é o exigido na fórmula da derivada direcional.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u. Fazendo o produto escalar componente a componente:
D_{u}f\!\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right) =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{4}{5}\right) +\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right).
Calculemos passo a passo: fator comum \dfrac{\sqrt{2}}{2},
D_{u}f\!\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{7}{5}.
Simplificando,
D_{u}f\!\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}.

Passo 7

Breve interpretação e motivação final (pra te animar): o valor positivo significa que, se você sair do ponto \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right) na direção de v=(4,-3), a função f(x,y)=e^{x}\cos y aumenta, e a taxa de aumento por unidade de comprimento nessa direção é \dfrac{7\sqrt{2}}{10}. Isso faz sentido porque o componente em x (positivo) aumenta e^{x} e o componente em y (negativo) altera o cosseno; o cálculo do gradiente captura exatamente essa combinação.

Resposta

\dfrac{7\sqrt{2}}{10}

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