Seja
f(x, y)=(2 x+y) .
Calcule:
\frac{\partial f}{\partial y}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y) = (2x + y).
Queremos calcular a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, \dfrac{\partial f}{\partial y}. As variáveis envolvidas são x e y; nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Vou relembrar a definição de derivada parcial em relação a y. A derivada parcial de f em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Isto significa: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} mantém-se x fixo e vê-se como f muda quando y varia infinitesimalmente.

Passo 3

Aplicando a definição à função dada, primeiro calcule f(x,y+h):
f(x,y+h)=2x+(y+h)=2x+y+h.
Agora formamos a diferença no numerador da definição:
f(x,y+h)-f(x,y)=(2x+y+h)-(2x+y)=h.
Dividindo por h e tomando o limite,
\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{h}{h}=1,
e portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}1=1.

Passo 4

Uma forma mais curta, mas equivalente, é usar regras básicas de derivação: a soma deriva-se termo a termo e 2x é tratado como constante quando diferenciamos em relação a y. Logo
\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)=0+1=1.

Passo 5

Interpretação intuitiva e um exemplo: \dfrac{\partial f}{\partial y}=1 significa que, para x fixo, um pequeno aumento \Delta y produz aproximadamente o mesmo aumento \Delta f\approx 1\cdot\Delta y. Por exemplo, em (x,y)=(3,4) tem-se f=2\cdot3+4=10; se y passa para 4{,}1 (ou seja, \Delta y=0{,}1), então f passa para 10{,}1, aumento de 0{,}1, compatível com derivada igual a 1.

Resposta

\displaystyle 1

Exercícios relacionados