Verifique que a função f(x, y)=x^2-3 y^2 é diferenciável em R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função f:R^2toR dada por f(x,y)=x^2-3y^2 é diferenciável em todo R^2. Para isso vamos usar o conceito de diferenciabilidade via derivadas parciais e, em seguida, confirmar pelo critério do resto o(|(h,k)|).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f. Para um ponto genérico (x0,y0) temos
partial fpartial x(x0,y0)=2x0,
partial fpartial y(x0,y0)=-6y0
Logo, o diferencial linear em (x0,y0) é a aplicação
L(x0,y0)(h,k)=2x0,h-6y0,k

Passo 3

Agora, note que as funções (x,y)mapsto 2x e (x,y)mapsto -6y são polinomiais e, portanto, contínuas em R^2. Isso implica que f é de classe C^1 em R^2 e, por um teorema padrão de análise, toda função C^1 é diferenciável.

Passo 4

Para ver diretamente pelo critério de definição, considere o resto
R(h,k)=f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-L(x0,y0)(h,k)
Calculando, obtemos
R(h,k)=(x0+h)^2-3(y0+k)^2-(x0^2-3y0^2)-l(2x0h-6y0kr)=h^2-3k^2
Então
|R(h,k)|raizh^2+k^2=|h^2-3k^2|raizh^2+k^2<=h^2+3k^2raizh^2+k^2<=(h^2+k^2)^1/2to0
quando (h,k)to(0,0). Isso mostra que o resto é o(|(h,k)|), confirmando a diferenciabilidade de f em qualquer ponto.

Passo 5

Assim, concluímos que f(x,y)=x^2-3y^2 é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função é diferenciável em todo R^2, pois tem derivadas parciais contínuas (classe C^1) e satisfaz o critério de resto o(|(h,k)|).

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