Verifique que a função
é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
dada por
é diferenciável em todo
. Para isso vamos usar o conceito de diferenciabilidade via derivadas parciais e, em seguida, confirmar pelo critério do resto
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
. Para um ponto genérico
temos
Logo, o diferencial linear em
é a aplicação
Passo 3
Agora, note que as funções
e
são polinomiais e, portanto, contínuas em
. Isso implica que
é de classe
em
e, por um teorema padrão de análise, toda função
é diferenciável.
Passo 4
Para ver diretamente pelo critério de definição, considere o resto
Calculando, obtemos
Então
quando
. Isso mostra que o resto é
, confirmando a diferenciabilidade de
em qualquer ponto.
Passo 5
Assim, concluímos que
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função é diferenciável em todo
, pois tem derivadas parciais contínuas (classe
) e satisfaz o critério de resto
.