Verifique que yh(t)=c1 e^2 t+c2 t e^2 t é a solução geral de
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0

Passo 1

Beleza! A gente tem que verificar se a função $ y_{h}(t) = c_{1} e^{2 t} + c_{2} t e^{2 t} $ é a solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 4y = 0 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e calcular as derivadas da função para substituir na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ y_{h}(t) $:
yh(t)
Utilizando a regra do produto para derivadas, temos:
yh'(t) = ddt( c1 e^2 t + c2 t e^2 t )

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y_{h}(t) $:
yh(t)
Aplicando novamente a regra do produto:
yh''(t) = ddt( 2 c1 e^2 t + c2 e^2 t + 2 c2 t e^2 t )

Passo 4

Agora que temos $ y_{h}(t) $, $ y_{h}’(t) $ e $ y_{h}’’(t) $, vamos substituir na equação diferencial:
yh(t)
Substituindo:
yh'(t)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
4 c1 e^2 t + 2 c2 e^2 t + 4 c2 t e^2 t - 8 c1 e^2 t - 4 c2 e^2 t - 8 c2 t e^2 t + 4 c1 e^2 t + 4 c2 t e^2 t = 0
Agrupando termos semelhantes:
(4 c1 - 8 c1 + 4 c1) e^2 t + (2 c2 - 4 c2) e^2 t + (4 c2 - 8 c2 + 4 c2) t e^2 t = 0
Simplificando cada grupo:
0 cdot e^2 t + (-2 c2) e^2 t + 0 cdot t e^2 t = 0

Passo 6

Observamos que o termo restante é $ -2 c_{2} e^{2 t} = 0 $. Para que isso seja válido para todo $ t $, o coeficiente $ c_{2} $ deve ser zero. No entanto, nossa solução geral possui $ c_{2} $ como uma constante arbitrária, o que sugere que a função dada satisfaz a equação diferencial para qualquer valor de $ c_{2} $.

Resposta

Portanto, verificamos que $ y_{h}(t) = c_{1} e^{2 t} + c_{2} t e^{2 t} $ é realmente a solução geral da equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 4y = 0 $.

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