Considere a equação diferencial
t^2 y^prime prime-2 t y^prime+2 y=0
Verifique que sua solução geral é y(t)=c1 t+c2 t^2, em qualquer intervalo que não contenha t=0.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
t^2 y'' - 2 t y' + 2 y = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis. Para verificar se a solução geral proposta $ y(t) = c_{1} t + c_{2} t^{2} $ está correta, vamos calcular as derivadas de $ y(t) $ e substituir na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y(t) $:
y(t)

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de $ y(t) $:
y(t)

Passo 4

Vamos substituir $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial original:
y(t)

Passo 5

Simplificando cada termo:
2 c2 t^2 - 2 c1 t - 4 c2 t^2 + 2 c1 t + 2 c2 t^2 = 0

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(2 c2 t^2 - 4 c2 t^2 + 2 c2 t^2) + (-2 c1 t + 2 c1 t) = 0
Isso simplifica para:
0 = 0

Resposta

A solução $ y(t) = c_{1} t + c_{2} t^{2} $ satisfaz a equação diferencial dada.

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