Considere a equação diferencial
Verifique que sua solução geral é
, em qualquer intervalo que não contenha
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis. Para verificar se a solução geral proposta $ y(t) = c_{1} t + c_{2} t^{2} $ está correta, vamos calcular as derivadas de $ y(t) $ e substituir na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y(t) $:
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada de $ y(t) $:
Passo 4
Vamos substituir $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial original:
Passo 5
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Resposta
A solução $ y(t) = c_{1} t + c_{2} t^{2} $ satisfaz a equação diferencial dada.