Verifique se a função g(x)=llx^2+1, & se x <= 1 2 x-1, & se x>1 é contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função a partes
g(x)=x^2+1,&x<=12x-1,&x>1
é contínua em x=1. Vamos usar a definição de continuidade em x=1, que exige:
1) calcular g(1);
2) calcular limxto1^-g(x);
3) calcular limxto1^+g(x);
4) checar se todos esses valores coincidem.

Passo 2

Como 1\le1, usamos a parte x^2+1 para achar g(1).
g(1)=1^2+1=2

Passo 3

Para o limite à esquerda, x aproxima 1 por valores menores, então também vale x^2+1. Logo:
limxto1^-g(x)=limxto1^-(x^2+1)=1^2+1=2

Passo 4

Para o limite à direita, x aproxima 1 por valores maiores, usando 2x-1:
limxto1^+g(x)=limxto1^+(2x-1)=2cdot1-1=1

Passo 5

Comparando: g(1)=2, limxto1^-g(x)=2 e limxto1^+g(x)=1. Como o limite à direita difere, não há continuidade em x=1.

Resposta

A função não é contínua em x=1, pois há descontinuidade de salto ( limxto1^-g(x)=2 e limxto1^+g(x)=1).

Exercícios relacionados