Verifique se a função
é contínua em
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ g(x) = \frac{x}{x+1} $ é contínua em $ x = -1 $. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções, que é fundamental em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto $ a $ se três condições forem atendidas:
- A função está definida em $ a $ (ou seja, $ g(a) $ existe).
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual ao valor da função em $ a $.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para $ g(x) $ em $ x = -1 $.
1. A função está definida em $ x = -1 $?
Substituindo $ x = -1 $ na função:
Substituindo $ x = -1 $ na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não é possível. Então, $ g(-1) $ não está definida.
Passo 4
Já que a função não está definida em $ x = -1 $, a primeira condição para continuidade não é atendida. Mesmo sem precisar verificar as outras condições, podemos concluir que a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função $ g(x) = \frac{x}{x+1} $ não é contínua em $ x = -1 $ porque não está definida nesse ponto.