(2,5 pontos) Encontre a soluçāo da equação diferencial y^prime=(2 x^3-1)(y+3).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de primeira ordem y'=l(2x^3-1r)(y+3). Este é um caso de EDO separável, e vamos precisar separar as variáveis e usar integrais e propriedades do logaritmo/exponencial para resolver.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy+3 = (2x^3 - 1),dx,
assim, todos os termos em y ficam no lado esquerdo e os termos em x no lado direito.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy+3 = integral (2x^3 - 1),dx.
No lado esquerdo, integral dyy+3 = ln|y+3|. No lado direito, integral (2x^3 - 1),dx = tfracx^42 - x.

Passo 4

Incluindo a constante de integração C, obtemos
ln|y+3| = x^42 - x + C.
Aplicamos exponencial a ambos os lados:
|y+3| = e^x^42 - x + C = e^C,e^x^42 - x.

Passo 5

Definindo a constante arbitrária A = pm e^C, resulta
y + 3 = A ,e^x^42 - x.
Por fim, subtraímos 3 de ambos os lados para isolar y.

Resposta

y(x) = A,e{\tfrac{x4}{2} - x} - 3

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