Encontrar partial fpartial x ; partial fpartial y ; partial^2 fpartial x^2 ; partial^2 fpartial y^2 ; partial^2 fpartial x partial y ; partial^2 fpartial y partial x
f(x, y)=4 x cdot senh y+3 y cdot cosh x

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=4x sinh(y)+3y cosh(x). O conteúdo é derivada parcial de funções que envolvem produto e funções hiperbólicas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada parcial (derivar em cada variável mantendo a outra fixa) e as regras: d/dx[sinh(x)]=cosh(x) e d/dx[cosh(x)]=sinh(x).

Passo 2

Derivando em relação a x: como y é constante, 4xsinh(y) vira 4sinh(y) e, usando d/dx[cosh(x)]=sinh(x), 3ycosh(x) vira 3ysinh(x). Logo, fx=4sinh(y)+3ysinh(x).

Passo 3

Derivando em relação a y: agora x é constante, 4xsinh(y) vira 4xcosh(y) e 3ycosh(x) vira 3cosh(x). Assim, fy=4xcosh(y)+3cosh(x).

Passo 4

Para as segundas derivadas puras, derivamos fx em x e fy em y. Em x: fx=4sinh(y)+3ysinh(x) fxx=3ycosh(x). Em y: fy=4xcosh(y)+3cosh(x) fyy=4xsinh(y).

Passo 5

As derivadas mistas: derivando fx em y, 4sinh(y) vira 4cosh(y) e 3ysinh(x) vira 3sinh(x), logo fxy=4cosh(y)+3sinh(x). Fazendo fy em x dá o mesmo resultado: fyx=4cosh(y)+3sinh(x), confirmando a igualdade das mistas.

Resposta

fx=4sinh(y)+3ysinh(x), fy=4xcosh(y)+3cosh(x), fxx=3ycosh(x), fyy=4xsinh(y), fxy=4cosh(y)+3sinh(x), fyx=4cosh(y)+3sinh(x).

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