\sum_{p=0} \ln \left(\frac{p+2}{p+1}\right), CONVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série infinita
\sum_{p=0}^{\infty} \ln\!\Bigl(\frac{p+2}{p+1}\Bigr).
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar a propriedade de logaritmo e teste de série telescópica.

Passo 2

Usamos a identidade
\ln\!\Bigl(\frac{p+2}{p+1}\Bigr) =\ln(p+2)-\ln(p+1),
transformando o termo geral num somatório de diferenças que pode telescopar.

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
S_N=\sum_{p=0}^{N}\ln\!\Bigl(\frac{p+2}{p+1}\Bigr) =\sum_{p=0}^{N}\bigl[\ln(p+2)-\ln(p+1)\bigr].
Ao expandir, percebemos que quase todos os termos se cancelam (“telescópio”):
S_N=\bigl[\ln2-\ln1\bigr]+ \bigl[\ln3-\ln2\bigr]+ \cdots +\bigl[\ln(N+2)-\ln(N+1)\bigr] =\ln(N+2)-\ln1.

Passo 4

Como \ln1=0, temos
S_N=\ln(N+2).
Tomando o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_N =\lim_{N\to\infty}\ln(N+2) =+\infty.

Resposta

A série diverge (o somatório cresce sem limite, tendendo a +\infty).

Exercícios relacionados