(a) Verifique que a função
f(x)=llc x(pi-x), & se & 0<x<pi x(pi+x), & se & -pi<x<0
é ímpar e encontre sua expansão em série de Fourier no intervalo [-pi, pi]. Observe que a função f(x), f^prime(x) são funções contínuas, porém f^prime prime(x) é contínua por intervalo e seus coeficientes decrescem a 0 na ordem de 1n^3.
(b) Dando um valor conveniente a x, determine a soma da série
1-13^3+15^3-17^3+cdots cdots

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= x(pi - x),&0<x<pi, x(pi + x),&-pi<x<0,
pede (a) verificar que f é ímpar e achar sua série de Fourier em [-pi,pi] e (b) usar essa série para calcular
1-13^3+15^3-17^3+cdots
O conteúdo é expansão em série de Fourier de função ímpar, o que implica só termos de seno:
f(x)=sumn=1^inftybn,sin(nx),
com
bn=2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx

Passo 2

Verificamos que f é ímpar, isto é, f(-x)=-f(x). Para x>0 temos
f(x)=x(pi-x)=pi x -x^2, f(-x)=(-x)l(pi+(-x)r)=-pi x +x^2,
e de fato
-!f(x)=-l(pi x -x^2r)=-pi x +x^2=f(-x)

Passo 3

Calculamos
bn=2piintegral0^pix(pi-x)sin(nx),dx =2pil(pi I1-I2r),
onde
I1=integral0^pixsin(nx),dx, I2=integral0^pix^2sin(nx),dx
Por integrações por partes obtém-se
I1=pi(-1)^,n+1n, I2 =(-1)^,n+1pi^2n +2(-1)^,n-1n^3
Substituindo em bn e simplificando dá
bn =2pil(picdotpi(-1)^n+1n -l[(-1)^n+1pi^2n +2(-1)^n-1n^3r]r) =4pi,1-(-1)^nn^3

Passo 4

Como para par e para ímpar, temos
í
Logo a série de Fourier fica

Passo 5

Para achar
S =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)^3 =1-13^3+15^3-cdots,
escolhemos x=pi2. Então
sinl((2k+1)tfracpi2r)=(-1)^k,
e da série de f obtemos
fl(tfracpi2r) =sumk=0^infty8pi,(2k+1)^3(-1)^k
Mas f(tfracpi2)=(tfracpi2)(pi-tfracpi2)=tfracpi^24. Logo
pi^24 =8pisumk=0^infty(-1)^k(2k+1)^3 ;Longrightarrow; sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)^3 =pi^332

Resposta

(a) f(x)=sumk=0^infty8pi,(2k+1)^3, sinl((2k+1)xr)
(b) 1-13^3+15^3-17^3+cdots =pi^332

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