é ímpar e encontre sua expansão em série de Fourier no intervalo . Observe que a função são funções contínuas, porém é contínua por intervalo e seus coeficientes decrescem a 0 na ordem de .
(b) Dando um valor conveniente a , determine a soma da série
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
pede (a) verificar que é ímpar e achar sua série de Fourier em e (b) usar essa série para calcular
O conteúdo é expansão em série de Fourier de função ímpar, o que implica só termos de seno:
com
Passo 2
Verificamos que é ímpar, isto é, . Para temos
e de fato
Passo 3
Calculamos
onde
Por integrações por partes obtém-se
Substituindo em e simplificando dá
Passo 4
Como para par e para ímpar, temos
Logo a série de Fourier fica
Passo 5
Para achar
S =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)^3 =1-13^3+15^3-cdots,
escolhemos x=pi2. Então
sinl((2k+1)tfracpi2r)=(-1)^k,
e da série de f obtemos
fl(tfracpi2r) =sumk=0^infty8pi,(2k+1)^3(-1)^k
Mas f(tfracpi2)=(tfracpi2)(pi-tfracpi2)=tfracpi^24. Logo