Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui é um intervalo de .
Se é integrável então existe tal que .
Passo 1
O enunciado afirma que toda função integrável teria uma primitiva tal que . Vamos dar um exemplo de função que é Riemann\mbox{-}integrável em mas não admite nenhuma diferenciável em todo com .
Passo 2
Defina
em [-1,1]. 1. f é paupérrima em descontinuidades: só “quebra” em x=0. 2. Como o conjunto de descontinuidades é finito, f é Riemann\mbox{-}integrável em [-1,1].
Passo 3
Suponha, por absurdo, que exista gcolon[-1,1]toR diferenciável tal que g'(x)=f(x) para todo x. 1. Para x<0 vale g'(x)=0, logo g é constante em [-1,0]; digamos g(x)=C nesse intervalo. 2. Para x>0 vale g'(x)=1, logo g(x)=x+D em (0,1]. 3. A continuidade de g em 0 exige C=D. 4. Mas então
g'-(0)=limhto0^-g(0+h)-g(0)h=limhto0^-C-Ch=0,
g'+(0)=limhto0^+g(0+h)-g(0)h=limhto0^+(h+C)-Ch=1
Como g'-(0)neq g'+(0), a derivada g'(0) não existe.
Passo 4
Concluímos que não pode haver função g diferenciável em todo [-1,1] com g'=f, apesar de f ser integrável.
Resposta
Um contraexemplo é
f(x)= 0,&x<0, 1,&x>=0,
que é Riemann\mbox{-}integrável em [-1,1] mas não admite primitiva g em todo o intervalo.