Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui I é um intervalo de R.
Se f:[a, b] R é integrável então existe g:[a, b] longrightarrow R tal que g^prime=f.

Passo 1

O enunciado afirma que toda função fcolon[a,b]toR integrável teria uma primitiva g tal que g'=f. Vamos dar um exemplo de função que é Riemann\mbox{-}integrável em [a,b] mas não admite nenhuma g diferenciável em todo [a,b] com g'=f.

Passo 2

Defina
f(x)= 0,&x<0, 1,&x>=0,
em [-1,1].
1. f é paupérrima em descontinuidades: só “quebra” em x=0.
2. Como o conjunto de descontinuidades é finito, f é Riemann\mbox{-}integrável em [-1,1].

Passo 3

Suponha, por absurdo, que exista gcolon[-1,1]toR diferenciável tal que g'(x)=f(x) para todo x.
1. Para x<0 vale g'(x)=0, logo g é constante em [-1,0]; digamos g(x)=C nesse intervalo.
2. Para x>0 vale g'(x)=1, logo g(x)=x+D em (0,1].
3. A continuidade de g em 0 exige C=D.
4. Mas então
g'-(0)=limhto0^-g(0+h)-g(0)h=limhto0^-C-Ch=0,
g'+(0)=limhto0^+g(0+h)-g(0)h=limhto0^+(h+C)-Ch=1
Como g'-(0)neq g'+(0), a derivada g'(0) não existe.

Passo 4

Concluímos que não pode haver função g diferenciável em todo [-1,1] com g'=f, apesar de f ser integrável.

Resposta

Um contraexemplo é
f(x)= 0,&x<0, 1,&x>=0,
que é Riemann\mbox{-}integrável em [-1,1] mas não admite primitiva g em todo o intervalo.

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