Verifique que a função \mu(x, y) dada é um fator integrante da equação diferencial correspondente e encontre as soluções.
\left(e^{x} \operatorname{sec} (y)-\tan (y)\right) d x+d y=0, \mu=e^{-x} \cos (y).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(e^{x}\operatorname{sec}(y)-\tan(y)\bigr)\,dx + dy = 0
e propõe o fator integrante \mu(x,y)=e^{-x}\cos(y).
Conteúdo: método de fator integrante para tornar a equação exata e resolver usando função potencial.

Passo 2

Multiplicamos a equação por \mu. Chamando
M(x,y)=e^{x}\operatorname{sec}(y)-\tan(y), \quad N(x,y)=1,
temos
\tilde{M}(x,y)=\mu\,M=e^{-x}\cos(y)\bigl(e^{x}\operatorname{sec}(y)-\tan(y)\bigr) =1 - e^{-x}\sin(y),
\tilde{N}(x,y)=\mu\,N=e^{-x}\cos(y).
Verificamos exatidão:
\frac{\partial \tilde{M}}{\partial y} =-e^{-x}\cos(y), \quad \frac{\partial \tilde{N}}{\partial x} =-e^{-x}\cos(y),
logo \partial_y\tilde{M}=\partial_x\tilde{N}, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) tal que \partial_x\Phi=\tilde{M}=1-e^{-x}\sin(y).
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(1 - e^{-x}\sin(y)\bigr)\,dx =x + e^{-x}\sin(y) + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial_y\Phi=\tilde{N}=e^{-x}\cos(y) obtemos
\partial_y\Phi =e^{-x}\cos(y) + h'(y) \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0,
logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução implícita é
\Phi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad x + e^{-x}\sin(y)=C.

Resposta

x + e^{-x}\sin(y)=C

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