Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
\left(y \cos (x)+2 x e^{y}\right) d x+\left(\operatorname{sen}(x)+x^{2} e^{y}-1\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y\cos(x)+2x e^{y}\bigr)\,dx+\bigl(\sin(x)+x^{2}e^{y}-1\bigr)\,dy=0.
O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”. Nosso objetivo é verificar se a EDO é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial cuja diferencial total anula a expressão, obtendo assim a família de soluções.

Passo 2

Denotemos
M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y}, \quad N(x,y)=\sin(x)+x^{2}e^{y}-1.
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos(x)+2x e^{y}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos(x)+2x e^{y}.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata e admite uma função potencial F(x,y) satisfazendo
\frac{\partial F}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=N.

Passo 4

Para encontrar F, integramos M em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y) =\int\bigl(y\cos(x)+2x e^{y}\bigr)\,dx =y\sin(x)+x^{2}e^{y}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Diferenciando F em relação a y e igualando a N, temos
\frac{\partial F}{\partial y} =\sin(x)+x^{2}e^{y}+h'(y) \stackrel{!}{=}\sin(x)+x^{2}e^{y}-1.
Logo
h'(y)=-1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-y.

Passo 6

Substituindo h(y) em F, obtemos a função potencial
F(x,y)=y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y.
A condição de exatidão implica dF=0, de onde surge a família de soluções implícita
y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e sua família de soluções é
y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y=C.

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