Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”. Nosso objetivo é verificar se a EDO é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial cuja diferencial total anula a expressão, obtendo assim a família de soluções.
Passo 2
Denotemos
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
Passo 3
Como
a equação é exata e admite uma função potencial
satisfazendo
Passo 4
Para encontrar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Diferenciando
em relação a
e igualando a
, temos
Logo
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos a função potencial
A condição de exatidão implica
, de onde surge a família de soluções implícita
com
constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata e sua família de soluções é