Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
.
Passo 1
Estamos diante da equação diferencial
O conteúdo é de equações exatas: devemos identificar
verificar exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 3
Como
, a equação é exata. Não é necessário fator integrante.
Passo 4
Procuramos
satisfazendo
. Integramos
em relação a
:
onde
é função arbitrária de
.
Passo 5
Derivando em relação a
e igualando a
:
Integramos para obter
:
Passo 6
Portanto a função potencial é
e a família geral de soluções vem de