Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
\left(3 x^{2} y+8 x y^{2}\right) d x+\left(x^{3}+8 x^{2} y+12 y e^{y}\right) d y=0.

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial
\bigl(3x^{2}y + 8xy^{2}\bigr)\,dx + \bigl(x^{3} + 8x^{2}y + 12y e^{y}\bigr)\,dy = 0.
O conteúdo é de equações exatas: devemos identificar
M(x,y) = 3x^{2}y + 8xy^{2}, \quad N(x,y) = x^{3} + 8x^{2}y + 12y e^{y},
verificar exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 3x^{2} + 16xy, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 3x^{2} + 16xy.

Passo 3

Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata. Não é necessário fator integrante.

Passo 4

Procuramos \psi(x,y) satisfazendo \psi_x = M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int \bigl(3x^{2}y + 8xy^{2}\bigr)\,dx = x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 5

Derivando em relação a y e igualando a N:
\psi_{y} = x^{3} + 8x^{2}y + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; x^{3} + 8x^{2}y + 12y e^{y} \;\Longrightarrow\; h'(y) = 12y e^{y}.
Integramos para obter h(y):
h(y) = \int 12y e^{y}\,dy = 12y e^{y} - 12e^{y}.

Passo 6

Portanto a função potencial é
\psi(x,y) = x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + 12y e^{y} - 12e^{y},
e a família geral de soluções vem de
\psi(x,y) = C.

Resposta

x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + 12e^{y}(y - 1) = C.

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