(a) Verifique que a função de onda
Psi(x, t)=cc A sen 2 pi xa e^-i E t / hbar & -a / 2+a / 2
é uma solução para a equação de Schroedinger na região -a / 2, para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela. (b) Normalize a função de onda, ajustando o valor da constante multiplicativa A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum ponto do espaço seja um. © Calcule o valor esperado de x, e o valor esperado de x^2, para a partícula associada à função de onda. (d) Calcule o valor esperado de p, e o valor esperado de p^2, para a partícula associada à função de onda. (e) Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use De e De como as incertezas De e De. O princípio de incerteza é cumprido?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um “pacote” de objetivos:
  1. Mostrar que
Psi(x,t)= Asin!l(tfrac2pi xar),e^-iEt/hbar,& -tfrac a2
satisfaz a equação de Schrödinger livre nessa região.
2. Normalizar a onda, ou seja achar tal que .
3. Calcular e .
4. Calcular e .
5. Achar e e ver se .
Matéria usada: equação de Schrödinger unidimensional, normalização de função de onda, valores esperados e operador momento , princípio da incerteza.

Passo 2

Queremos ver se
ihbarpartialPsipartial t=-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2
dentro de ihbar,partialtPsi =ihbarl(-tfraciEhbarr)Psi =E,Psi .
  • No lado esquerdo:
d^2dx^2sin!l(tfrac2pi xar) =-l(tfrac2piar)^2sin!l(tfrac2pi xar)
  • No lado direito, como -hbar^22mpartial^2Psipartial x^2 =-hbar^22ml(-tfrac4pi^2a^2r)Psi =4pi^2hbar^22ma^2Psi =E,Psi, só depende de :
Logo
desde que . Então bate dos dois lados e é solução.

Passo 3

Normalização:
1=integral-infty^infty|Psi|^2dx =|A|^2integral-a/2^a/2sin^2!l(tfrac2pi xar),dx
Usamos integral-a/2^a/2sin^2!l(tfrac2pi xar),dx = a2 . Aqui |A|^2 a2=1 Rightarrow A=raiz2a e , então
Logo

Passo 4

Valores esperados de lang<= xrang<==0 e lang<= x^2rang<= =a^212-a^28pi^2 :
  1. .
    Mas é função ímpar no intervalo simétrico, então dá zero:
  1. .
    Esse integral dá (pode-se usar identidade trig e tabelas)

Passo 5

Valores esperados de lang<= prang<= =integralPsi^*(-ihbar)Psi',dx =0 e lang<= p^2rang<= =integralPsi^*(-hbar^2)d^2Psidx^2,dx =hbar^2 k^2 =hbar^2l(tfrac2piar)^2 =4pi^2hbar^2a^2 :
  1. Operador . Como é par e a derivada de muda paridade, dá

Passo 6

Incertezas e princípio:
Dehbar2 .
Produto:
Ou seja, o princípio de incerteza está satisfeito.

Resposta

A=raiz2a, lang<= xrang<==0, lang<= x^2rang<==a^212-a^28pi^2, lang<= prang<==0, lang<= p^2rang<==4pi^2hbar^2a^2,
Princípio de incerteza cumprido!

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