(a) Verifique que a função de onda
é uma solução para a equação de Schroedinger na região
, para uma partícula que se move livremente nessa região, mas que está confinada a ela. (b) Normalize a função de onda, ajustando o valor da constante multiplicativa
de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum ponto do espaço seja um. © Calcule o valor esperado de
, e o valor esperado de
, para a partícula associada à função de onda. (d) Calcule o valor esperado de
, e o valor esperado de
, para a partícula associada à função de onda. (e) Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado. Use
e
De como as incertezas
De e
De . O princípio de incerteza é cumprido?
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um “pacote” de objetivos:
- Mostrar que
satisfaz a equação de Schrödinger livre nessa região.
2. Normalizar a onda, ou seja achar tal que
.
3. Calcular e
.
4. Calcular e
.
5. Achar e
e ver se
.
2. Normalizar a onda, ou seja achar
3. Calcular
4. Calcular
5. Achar
Matéria usada: equação de Schrödinger unidimensional, normalização de função de onda, valores esperados e operador momento
, princípio da incerteza.
Passo 2
Queremos ver se
dentro de
ihbar,partialtPsi =ihbarl(-tfraciEhbarr)Psi =E,Psi .
- No lado esquerdo:
- No lado direito, como
só depende de-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2 =-hbar^22ml(-tfrac4pi^2a^2r)Psi =4pi^2hbar^22ma^2Psi =E,Psi, :
Logo
desde que
. Então bate dos dois lados e
é solução.
Passo 3
Normalização:
Usamos
integral-a/2^a/2sin^2!l(tfrac2pi xar),dx = a2 . Aqui
|A|^2 a2=1 Rightarrow A=raiz2a e
, então
Logo
Passo 4
Valores esperados de
lang<= xrang<==0 e
lang<= x^2rang<= =a^212-a^28pi^2 :
-
.
Mas é função ímpar no intervalo simétrico, então dá zero:
-
.
Esse integral dá (pode-se usar identidade trig e tabelas)
Passo 5
Valores esperados de
lang<= prang<= =integralPsi^*(-ihbar)Psi',dx =0 e
lang<= p^2rang<= =integralPsi^*(-hbar^2)d^2Psidx^2,dx =hbar^2 k^2 =hbar^2l(tfrac2piar)^2 =4pi^2hbar^2a^2 :
- Operador
. Como é par e a derivada de muda paridade, dá
Passo 6
Resposta
Princípio de incerteza cumprido!