Verifique que a função u=u(x, y) dada por
u(x, y)=\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{x} f(y),
é solução da equação diferencial parcial
x \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y)=\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{x}\,f(y)
e pede para verificar que ela satisfaz a equação parcial
x\,\frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}.
Para isso, vamos calcular \partial u/\partial x e em seguida montar x\,\partial u/\partial x+u.

Passo 2

Calculando a derivada parcial de u em relação a x, tratando f(y) como constante:
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{3}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{1}{x}f(y)\Bigr) =\frac{2x}{3}-\frac{1}{x^{2}}\,f(y).

Passo 3

Agora formamos
x\,\frac{\partial u}{\partial x} =x\Bigl(\frac{2x}{3}-\frac{f(y)}{x^{2}}\Bigr) =\frac{2x^{2}}{3}-\frac{f(y)}{x}.
Somando u:
x\,\frac{\partial u}{\partial x}+u =\Bigl(\frac{2x^{2}}{3}-\frac{f(y)}{x}\Bigr) +\Bigl(\frac{x^{2}}{3}+\frac{f(y)}{x}\Bigr) =\frac{2x^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{3} =x^{2}.

Passo 4

As parcelas que envolvem f(y) se cancelam e o resultado final é exatamente x^{2}. Logo, a função u(x,y) satisfaz a equação dada.

Resposta

A função u(x,y)=\tfrac{x^{2}}{3}+\tfrac{1}{x}f(y) verifica
x\,\frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2},
portanto é solução da equação diferencial parcial.

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