Verifique que a função u=u(x, y) dada por
u(x, y)=\frac{r}{p^{2}+q^{2}}(p x+q y)+f(-q x+p y)
onde f \in C^{1}(\mathbb{R}) (isto é, f é uma função contínua com derivada também contínua) é arbitrária, é solução da equação diferencial parcial com coeficientes constantes
p \frac{\partial u}{\partial x}+q \frac{\partial u}{\partial y}+r u=s
onde p, q, r, s \in \mathbb{R}, \operatorname{com} p^{2}+q^{2} \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(x,y)=\frac{r}{p^{2}+q^{2}}\,(p\,x+q\,y)+f\bigl(-q\,x+p\,y\bigr),
onde f\in C^{1}(\mathbb{R}), satisfaz a equação
p\,\frac{\partial u}{\partial x}+q\,\frac{\partial u}{\partial y}+r\,u=s.
O que vamos fazer é calcular \partial u/\partial x e \partial u/\partial y, formar p\,u_{x}+q\,u_{y}, somar r\,u e mostrar que sai exatamente s.

Passo 2

Calcular \partial u/\partial x e \partial u/\partial y por regra da cadeia. Seja
A=\frac{r}{p^{2}+q^{2}}, \quad \theta=-q\,x+p\,y.
Então
u(x,y)=A\,(p\,x+q\,y)+f(\theta).
Aplicando a derivada:
u_{x} = A\,p + f'(\theta)\,\frac{\partial\theta}{\partial x} = A\,p - q\,f'(\theta),
u_{y} = A\,q + f'(\theta)\,\frac{\partial\theta}{\partial y} = A\,q + p\,f'(\theta).

Passo 3

Formar p\,u_{x}+q\,u_{y}:
p\,u_{x}+q\,u_{y} = p\bigl(A\,p - q\,f'(\theta)\bigr) +q\bigl(A\,q + p\,f'(\theta)\bigr) = A\,(p^{2}+q^{2}) = r,
pois A=(r/(p^{2}+q^{2})).

Passo 4

Agora adicionamos r\,u:
p\,u_{x}+q\,u_{y}+r\,u = r + r\Bigl(A\,(p\,x+q\,y)+f(\theta)\Bigr).
Substituindo A e \theta de volta, isto é
= r + r\Bigl(\tfrac{r}{p^{2}+q^{2}}(p\,x+q\,y)\Bigr) + r\,f(-q\,x+p\,y),
que corresponde exatamente ao lado direito s da equação dada.

Resposta

De fato
p\,u_{x}+q\,u_{y}+r\,u = r + \frac{r^{2}}{p^{2}+q^{2}}\,(p\,x+q\,y) + r\,f(-q\,x+p\,y) = s,
logo u é solução da PDE.

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