Verifique que a função \varphi(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-2 x} é uma solução para a equação linear
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-2 y=0
para qualquer escolha das constantes c_{1} e c_{2}. Determine c_{1} e c_{2} de modo que cada uma das seguintes condições iniciais scja satisfeita.
y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a função \varphi(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-2 x} e a equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-2 y=0.
Pede duas coisas:
  1. Verificar que \varphi(x) satisfaz essa equação para quaisquer constantes \;c_{1} e \;c_{2}.
  2. Determinar \;c_{1} e \;c_{2} de modo que as condições iniciais
y(0)=2,\qquad y'(0)=1
sejam satisfeitas.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de \varphi(x). Relembrando a regra básica: a derivada de e^{a x} em relação a x é a e^{a x}. Usando linearidade (a derivada de soma é soma das derivadas) obtemos:
\varphi(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-2x},
\varphi'(x)=c_{1}\frac{d}{dx}e^{x}+c_{2}\frac{d}{dx}e^{-2x}=c_{1} e^{x}+c_{2}(-2)e^{-2x}=c_{1} e^{x}-2c_{2} e^{-2x},
\varphi''(x)=\frac{d}{dx}\big(c_{1} e^{x}-2c_{2} e^{-2x}\big)=c_{1} e^{x}-2c_{2}(-2)e^{-2x}=c_{1} e^{x}+4c_{2} e^{-2x}.

Passo 3

Substituímos \varphi, \varphi' e \varphi'' na equação diferencial para verificar se a soma dá zero:
\varphi''(x)+\varphi'(x)-2\varphi(x)
=\big(c_{1} e^{x}+4c_{2} e^{-2x}\big)+\big(c_{1} e^{x}-2c_{2} e^{-2x}\big)-2\big(c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-2x}\big).
Agrupando os termos com e^{x} e com e^{-2x}:
\big(c_{1}+c_{1}-2c_{1}\big)e^{x}+\big(4c_{2}-2c_{2}-2c_{2}\big)e^{-2x}=0\cdot e^{x}+0\cdot e^{-2x}=0.
Portanto a combinação é identicamente zero, o que mostra que \varphi(x) satisfaz a equação diferencial para quaisquer c_{1} e c_{2}.

Passo 4

Agora impondo as condições iniciais. Primeiro avaliamos em x=0. Lembrando que e^{0}=1:
\varphi(0)=c_{1} e^{0}+c_{2} e^{0}=c_{1}+c_{2}.
A condição \varphi(0)=2 dá a primeira equação:
c_{1}+c_{2}=2.
Para a derivada:
\varphi'(0)=c_{1} e^{0}-2c_{2} e^{0}=c_{1}-2c_{2}.
A condição \varphi'(0)=1 fornece a segunda equação:
c_{1}-2c_{2}=1.
Temos, portanto, o sistema linear
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=2,\\[4pt] c_{1}-2c_{2}=1. \end{cases}]

Passo 5

Para resolver o sistema usamos eliminação. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(c_{1}-2c_{2})-(c_{1}+c_{2})=1-2 \;\Longrightarrow\; -3c_{2}=-1.
Logo
c_{2}=\frac{1}{3}.
Substituindo em c_{1}+c_{2}=2:
c_{1}+\frac{1}{3}=2 \;\Longrightarrow\; c_{1}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Podemos recapitular: a verificação mostrou que qualquer combinação linear das funções e^{x} e e^{-2x} resolve a equação homogênea, e o sistema obtido pelas condições iniciais é um sistema 2×2 simples que resolvemos por eliminação. Os valores finais das constantes são
c_{1}=\frac{5}{3},\qquad c_{2}=\frac{1}{3}.

Resposta

c_{1}=\dfrac{5}{3},\quad c_{2}=\dfrac{1}{3}

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