Verifique que a função
é uma solução para a equação linear
para qualquer escolha das constantes
e
. Determine
e
de modo que cada uma das seguintes condições iniciais scja satisfeita.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a equação diferencial
Pede duas coisas:
- Verificar que
satisfaz essa equação para quaisquer constantes e . - Determinar
e de modo que as condições iniciais
sejam satisfeitas.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
. Relembrando a regra básica: a derivada de
em relação a
é
. Usando linearidade (a derivada de soma é soma das derivadas) obtemos:
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação diferencial para verificar se a soma dá zero:
Agrupando os termos com
e com
:
Portanto a combinação é identicamente zero, o que mostra que
satisfaz a equação diferencial para quaisquer
e
.
Passo 4
Agora impondo as condições iniciais. Primeiro avaliamos em
. Lembrando que
:
A condição
dá a primeira equação:
Para a derivada:
A condição
fornece a segunda equação:
Temos, portanto, o sistema linear
Passo 5
Para resolver o sistema usamos eliminação. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Logo
Substituindo em
:
Passo 6
Podemos recapitular: a verificação mostrou que qualquer combinação linear das funções
e
resolve a equação homogênea, e o sistema obtido pelas condições iniciais é um sistema 2×2 simples que resolvemos por eliminação. Os valores finais das constantes são