Mostre que a função f(x, y)=e^{-x y} \cos (y) é diferenciável no ponto P=(\pi, 0). Em seguida, encontre sua função de linearização nas vizinhanças de P e use-a para estimar f no ponto Q=(3.5,0.98). Qual o erro nesta aproximação?
Passo 1
O enunciado dá a função \,f(x,y)=e^{-x y}\cos(y)\, e os pontos P=(\pi,0) e Q=(3,5,0,98) (note que os números com vírgula na entrada seguem a notação pedida). As perguntas são:
Mostrar que f é diferenciável em P.
Encontrar a função de linearização (aproximação linear) de f nas vizinhanças de P.
Usar essa linearização para estimar f em Q.
Calcular o erro da aproximação (diferença entre o valor verdadeiro e a estimativa).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f e as coordenadas de P e Q.
Passo 2
O que significa mostrar que f é diferenciável em P? Vou explicar de um jeito direto e prático. Para uma função de duas variáveis, dizer que f é diferenciável em P=(x_0,y_0) significa que existe uma aproximação linear (um polinômio de grau 1) que aproxima bem f perto de P; formalmente existe um mapa linear L(h,k) tal que
Na prática, uma maneira simples de garantir diferenciabilidade é mostrar que as derivadas parciais existem em um entorno e são contínuas em P — então f é diferenciável em P. Vou calcular as derivadas parciais e verificar continuidade (no caso, f é combinação de exponencial e trigonométrica, funções suaves, então as parciais serão contínuas).
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. Primeiro escrevo f como produto de duas funções:
Conclusão sobre diferenciabilidade: encontramos \partial f/\partial x e \partial f/\partial y em P. Além disso, as expressões para as derivadas parciais são combinações de e^{-xy}, \cos(y) e \sin(y), que são funções contínuas em todo \mathbb{R}^2. Portanto as derivadas parciais são contínuas num entorno de P, e isso garante que f é diferenciável em P. Em linguagem do enunciado: a resposta é que f é diferenciável em P.
Passo 6
Agora obtenho a função de linearização (aproximação linear, primeira aproximação de Taylor) de f em P. A fórmula da linearização em torno de P=(x_0,y_0) é
Aqui x_0=\pi, y_0=0. Já calculei f(\pi,0)=e^{-\pi\cdot 0}\cos 0=1, f_x(\pi,0)=0 e f_y(\pi,0)=-\pi. Substituindo:
L(x,y)=1+0\cdot(x-\pi)+(-\pi)\cdot(y-0)=1-\pi y.
Portanto a linearização é \,L(x,y)=1-\pi y\,. Interpretação rápida: perto de P a função se comporta aproximadamente como uma reta em y, sem dependência linear em x porque f_x(\pi,0)=0.
Passo 7
Usar a linearização para estimar f em Q=(3,5,0,98). Basta avaliar L em Q:
L(3,5,0,98)=1-\pi\cdot 0,98.
Vou calcular isso com passos: \pi\approx 3,14159265. Multiplicando por 0,98:
Agora calculo o valor real f(Q)=e^{-x y}\cos(y) em Q para comparar. Primeiro x y=3,5\cdot 0,98=3,43. Então
f(3,5,0,98)=e^{-3,43}\cos(0,98).
Vou aproximar cada fator com cuidado (mostrando como fazer na prova sem calculadora, usando decomposição e séries truncadas):
a) Aproximação de e^{-3,43}. Escrevo e^{-3,43}=e^{-3}\,e^{-0,43}. Sabemos e^{-3}\approx 0,04978707. Para e^{-0,43} uso a série de Taylor truncada para e^{-t} em t=0,43:
Observação intuitiva: o erro é grande porque a variação em y (de 0 para 0,98) não é pequena; a linearização é boa para deslocamentos pequenos, mas aqui y mudou quase uma unidade inteira, então a aproximação linear falha bastante.
Resposta
Diferenciável em P: sim.
Função de linearização: L(x,y)=1-\pi y.
Estimativa por linearização em Q=(3,5,0,98): L(3,5,0,98)\approx -2,07876.
Erro absoluto da aproximação: \approx 2,09683.