Verifique se as funções abaixo são contínuas em

Passo 1

O enunciado nos dá a função em duas partes, uma para x<0 e outra para x>=0, e pede para verificar continuidade em x=0. Para isso, usamos a definição: f é contínua em x=0 se e somente se
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0)

Passo 2

Calculamos as aproximações laterais. Pela esquerda, em x<0, temos
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x^3-2x^2+1)=0-0+1=1
Pela direita, em x>=0,
limxto0^+f(x)=limxto0^+(x^4+x+1)=0+0+1=1

Passo 3

Agora avaliamos f(0) usando a definição para x>=0:
f(0)=0^4+0+1=1
Como os limites laterais são iguais entre si e coincidem com f(0), concluímos que a função é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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