Ache duas representações em coordenadas polares, uma com r>0 e a outra com r<0, para os pontos com as coordenadas retangulares dadas.
(-3, raiz3)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas retangulares (-3,raiz3) em duas representações polares (r,theta): uma com r>0 e outra com r<0. Para isso vamos usar que
r = raizx^2+y^2
e
theta = atan2(y,x),
ajustando o ângulo ao quadrante correto.

Passo 2

Calculamos primeiro r e theta para uma representação com r>0:
r = raiz(-3)^2 + (raiz3)^2 = raiz9 + 3 = raiz12 = 2raiz3
Como x=-3<0 e y=raiz3>0, o ponto está no segundo quadrante. Ainda temos
tantheta = yx = -raiz33,
logo o ângulo é
theta = pi - pi6 = 5pi6
Portanto, uma representação com r>0 é
(r,theta) = l(2raiz3,;tfrac5pi6r)

Passo 3

Para obter uma representação com r<0, basta trocar o sinal de r e somar (ou subtrair) pi de theta. Tomando
r' = -,2raiz3, theta' = 5pi6 - pi = -pi6,
vemos que
r'costheta' = -2raiz3cosl(-tfracpi6r) = -3, r'sintheta' = -2raiz3sinl(-tfracpi6r) = raiz3,
como desejado.

Resposta

(r,theta) = l(2raiz3,,5pi6r) com r>0.\n (r,theta) = l(-2raiz3,,-pi6r) com r<0.

Exercícios relacionados