Ache duas representações em coordenadas polares, uma com r>0 e a outra com r<0, para os pontos com as coordenadas retangulares dadas.
(raiz2,-raiz2)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (raiz2,-raiz2) em duas representações em coordenadas polares: uma com r>0 e outra com r<0. Vamos usar as fórmulas
x = rcostheta,
y = rsintheta

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo r do vetor posição:
r = raizx^2 + y^2
Substituindo x = raiz2 e y = -raiz2 temos
r = raiz(raiz2)^2 + (-raiz2)^2 = raiz2 + 2 = 2

Passo 3

Agora achamos o ângulo theta tal que
costheta = xr = raiz22,
sintheta = yr = -raiz22
Como x>0 e y<0, o ponto está no quarto quadrante, de onde
theta = -pi4

Passo 4

Portanto, uma representação com r>0 é
(r,theta) = l(2,,-tfracpi4r)

Passo 5

Para obter uma representação com r<0, basta trocar o sinal de r e somar pi ao ângulo:
r' = -2,
theta' = -pi4 + pi = 3pi4
Logo, a outra representação é
(r,theta) = l(-2,;tfrac3pi4r)

Resposta

(2,,-tfracpi4) e l(-2,;tfrac3pi4r)

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