Verifique se as funções abaixo são contínuas em (x=0) e justifique.
(f(x)= {cases}x^{2}+2 x-1 , x leq 0 1-ln ((1+x)^{frac{1}{2}}) , x>0)

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos verificar se . Lembrando que é contínua em se e somente se

Passo 2

Como 0<=0, usa-se o ramo x^2+2x-1 para calcular f(0) e o limite pela esquerda:
f(0)=0^2+2cdot0-1=-1,
limxto0^-f(x) =limxto0^-(x^2+2x-1) =0+0-1 =-1

Passo 3

Para o limite pela direita usamos o ramo 1-lnl((1+x)^tfrac12r). Como ln((1+x)^tfrac12)=tfrac12ln(1+x),
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(1-tfrac12ln(1+x)r) =1-tfrac12ln(1) =1-0 =1

Passo 4

Comparando os resultados:
limxto0^-f(x)=-1,
limxto0^+f(x)=1 e
f(0)=-1.
Como limxto0^-f(x)neqlimxto0^+f(x), a função não satisfaz a condição de continuidade em x=0.

Resposta

A função não é contínua em x=0.

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