Verifique se as funções abaixo são contínuas em (x=0) e justifique.
(f(x)= {cases}1-3 x{2}+x{3} , x leq 0 x^{5}-2 x^{2}+3 x+1 , x>0)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 1 - 3x^2 + x^3, & x <= 0, x^5 - 2x^2 + 3x + 1, & x > 0
Queremos verificar se f é contínua em x=0. Para isso usamos a definição de continuidade num ponto: precisamos que f(0) exista e que
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0)
Sabemos que polinômios são contínuos em todo ponto, então basta avaliar essas quantidades em 0.

Passo 2

Calculamos o valor da função em 0 usando a parte x<=0:
f(0)=1 - 3cdot0^2 + 0^3=1

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda. Como 1 - 3x^2 + x^3 é polinômio, vale a propriedade de substituição:
limxto0^-f(x) =limxto0(1 - 3x^2 + x^3) =1 - 3cdot0^2 + 0^3 =1

Passo 4

Calculamos o limite pela direita. Também é polinômio, então
limxto0^+f(x) =limxto0(x^5 - 2x^2 + 3x + 1) =0 - 0 + 0 + 1 =1

Passo 5

Como
limxto0^-f(x)=1, limxto0^+f(x)=1, f(0)=1,
os limites laterais coincidem entre si e valem f(0). Pela definição, f é contínua em x=0.

Resposta

A função é contínua em x=0 porque as duas biunilaterais de limxto0f(x) igualam-se a 1, que é exatamente f(0).

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