Verifique se as funções abaixo são contínuas em (x=0) e justifique.
(f(x)= {cases}1-3 x{2}+x{3} , x leq 0 x^{5}-2 x^{2}+3 x+1 , x>0)
(f(x)= {cases}1-3 x{2}+x{3} , x leq 0 x^{5}-2 x^{2}+3 x+1 , x>0)
Passo 1
O enunciado define a função por partes
Queremos verificar se
é contínua em
. Para isso usamos a definição de continuidade num ponto: precisamos que
exista e que
Sabemos que polinômios são contínuos em todo ponto, então basta avaliar essas quantidades em
.
Passo 2
Calculamos o valor da função em
usando a parte
:
Passo 3
Calculamos o limite pela esquerda. Como
é polinômio, vale a propriedade de substituição:
Passo 4
Calculamos o limite pela direita. Também é polinômio, então
Passo 5
Como
os limites laterais coincidem entre si e valem
. Pela definição,
é contínua em
.
Resposta
A função é contínua em
porque as duas biunilaterais de
igualam-se a
, que é exatamente
.