Determine as derivadas parciais de:
z=sen x y+e^x-y, onde x=rho sen theta e y=rho cos theta

Passo 1

O enunciado define
z = sinl(xyr) + e^,x - y,
com as mudanças de variáveis
x = rho ,sintheta, y = rho ,costheta
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais compostas, usando a regra da cadeia. Vamos precisar de partial z/partial x, partial z/partial y e das derivadas de x e y em relação a rho e theta.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Como sin(xy) depende de x e y via o produto xy,
partialpartial xsin(xy) = cos(xy)cdot partialpartial x(xy) = cos(xy),y,
partialpartial ysin(xy) = cos(xy)cdot partialpartial y(xy) = cos(xy),x
E para e^,x-y temos
partialpartial xe^,x-y=e^,x-y, partialpartial ye^,x-y=-e^,x-y
Logo,
zx = partial zpartial x = cos(xy),y + e^,x-y,
zy = partial zpartial y = cos(xy),x - e^,x-y

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial z/partial rho:
partial zpartial rho = zx,partial xpartial rho + zy,partial ypartial rho
Como x=rhosintheta e y=rhocostheta, temos
partial xpartial rho=sintheta, partial ypartial rho=costheta
Assim,
partial zpartial rho = l(cos(xy),y + e^,x-yr)sintheta + l(cos(xy),x - e^,x-yr)costheta

Passo 4

Para partial z/partial theta usamos
partial zpartial theta = zx,partial xpartial theta + zy,partial ypartial theta
Calculamos
partial xpartial theta = rhocostheta, partial ypartial theta = -rhosintheta
Logo,
partial zpartial theta = l(cos(xy),y + e^,x-yr)rhocostheta + l(cos(xy),x - e^,x-yr)l(-rhosinthetar)
Podemos reorganizar em
partial zpartial theta = rhocosthetal(cos(xy),y + e^,x-yr) - rhosinthetal(cos(xy),x - e^,x-yr)

Resposta

partial zpartial rho = l(cos(xy),y + e^,x-yr)sintheta + l(cos(xy),x - e^,x-yr)costheta,
partial zpartial theta = rhocosthetal(cos(xy),y + e^,x-yr) - rhosinthetal(cos(xy),x - e^,x-yr),
com x=rhosintheta e y=rhocostheta.

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