Verifique se as funções abaixo são deriváveis no pontos . Em caso afirmativo calcule . em p=1
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= 2x+1, & x<1, -x+4, & x>=1,
e pede para verificar se f é derivável em p=1 e, em caso afirmativo, calcular f'(1). Para isso precisamos usar o critério de derivabilidade em ponto de função por partes: verificar continuidade em x=1 e comparar as derivadas laterais.
Passo 2
Verificamos a continuidade em x=1:
O valor à esquerda é
limxto1^-f(x)=limxto1^-(2x+1)=2cdot1+1=3,
e o valor no ponto é
f(1)=-1+4=3
Como limxto1^-f(x)=f(1)=3, não há descontinuidade.
Passo 3
Calculamos as derivadas laterais em x=1:
Para x<1, f(x)=2x+1 tem derivada
f'-(1)=2
Para x>1, f(x)=-x+4 tem derivada
f'+(1)=-1
Passo 4
Como as derivadas laterais não coincidem (f'-(1)=2neq -1=f'+(1)), a derivada de f em x=1 não existe.
Resposta
A função não é derivável em p=1, pois as derivadas laterais valem 2 e -1, não coincidindo.