Verifique se as funções abaixo são deriváveis no pontos
. Em caso afirmativo calcule
.
em
Passo 1
O enunciado define a função por partes
e pede para verificar se ela é derivável em
e, em caso afirmativo, calcular
. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções definidas por partes, que exige verificar continuidade em
e igualdade das derivadas laterais.
Passo 2
Verificamos primeiro a continuidade em
.
O valor da função em é
O valor da função em
O limite pela direita é
e o limite pela esquerda é
Como ambos os limites laterais coincidem com
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas laterais em
.
Pela definição de derivada lateral à direita, como para temos
(constante),
Pela definição de derivada lateral à direita, como para
Para a derivada lateral à esquerda, como para
temos
, a derivada dessa parte é
, logo
Passo 4
Como
é contínua em
e as derivadas laterais são iguais (
), concluímos que
é derivável em
e