Verifique se as funções abaixo são deriváveis no pontos p. Em caso afirmativo calcule f^prime(p).
f(x)=lll2 & se & x >= 0 x^2+2 & se & x<0, em p=0

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 2,&x>=0, x^2+2,&x<0
e pede para verificar se ela é derivável em p=0 e, em caso afirmativo, calcular f'(0). O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções definidas por partes, que exige verificar continuidade em 0 e igualdade das derivadas laterais.

Passo 2

Verificamos primeiro a continuidade em 0.
O valor da função em 0 é
f(0)=2
O limite pela direita é
limxto0^+f(x)=limxto0^+2=2,
e o limite pela esquerda é
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x^2+2)=2
Como ambos os limites laterais coincidem com f(0), a função é contínua em 0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas laterais em 0.
Pela definição de derivada lateral à direita, como para x>0 temos f(x)=2 (constante),
f'+(0)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+2-2h=0
Para a derivada lateral à esquerda, como para x<0 temos f(x)=x^2+2, a derivada dessa parte é 2x, logo
f'-(0)=limhto0^-(0+h)^2+2-2h =limhto0^-h^2h =limhto0^-h=0

Passo 4

Como f é contínua em 0 e as derivadas laterais são iguais ( f'+(0)=f'-(0)=0), concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=0

Resposta

f é derivável em p=0 e f'(0)=0.

Exercícios relacionados