Verifique se as funções abaixo são deriváveis no pontos p. Em caso afirmativo calcule f^prime(p).
f(x)=lllx^2+2 & se & x<1 2 x+1 & se & x >= 1, em p=1

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= x^2+2,&x<1, 2x+1,&x>=1,
e pede para verificar se ela é diferenciável em p=1 e, em caso afirmativo, calcular f'(1). Para isso precisamos checar continuidade em x=1 e ver se as derivadas laterais em 1 coincidem.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1. O limite à esquerda é
limxto1^-f(x)=limxto1^-(x^2+2)=1^2+2=3,
o limite à direita é
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2x+1)=2cdot1+1=3,
e f(1)=2cdot1+1=3. Como todos coincidem, f é contínua em 1.

Passo 3

Calculamos a derivada lateral à esquerda em 1. Para x<1 vale f(x)=x^2+2, cuja derivada é f'(x)=2x. Logo
f'-(1)=limxto1^-2x=2cdot1=2

Passo 4

Calculamos a derivada lateral à direita em 1. Para x>=1 vale f(x)=2x+1, cuja derivada é f'(x)=2. Portanto
f'+(1)=2

Passo 5

As derivadas laterais coincidem ( 2=2) e a função é contínua em 1. Logo f é diferenciável em 1 e
f'(1)=2

Resposta

A função é diferenciável em p=1 e f'(1)=2.

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