Encontre, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{|x|-2}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{\lvert x\rvert -2}.
O conteúdo é análise de assíntotas de funções racionais com valor absoluto. Vamos precisar (1) achar onde o denominador se anula para possíveis assíntotas verticais e (2) estudar o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty para assíntotas horizontais.

Passo 2

Determinar o domínio e os pontos onde \lvert x\rvert -2=0.
\lvert x\rvert -2=0 \;\Longrightarrow\; \lvert x\rvert =2 \;\Longrightarrow\; x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Logo, o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\} e só há candidatos a assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

Passo 3

Analisar o limite em x\to2. Para x perto de 2 (positivo), \lvert x\rvert =x, então o denominador é x-2.
— Se x\to2^-, x-2<0 e numerador \to2^2+1=5>0, logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=\frac{5}{\,x-2\,}=-\infty.
— Se x\to2^+, x-2>0, então
\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.
Portanto x=2 é assíntota vertical.

Passo 4

Analisar o limite em x\to-2. Para x perto de -2, \lvert x\rvert =-x, então o denominador é -x-2.
— Se x\to-2^- (ou seja, x<-2), então -x-2>0 e numerador \to5, logo
\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty.
— Se x\to-2^+ (ou seja, -2<x<0), então -x-2<0, resultando em
\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty.
Logo x=-2 também é assíntota vertical.

Passo 5

Estudar x\to\pm\infty para assíntotas horizontais.
Para x\to+\infty, \lvert x\rvert =x e
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-2} =x+2+\frac{5}{\,x-2\,}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;+\infty.
Para x\to-\infty, \lvert x\rvert =-x e
f(x)=\frac{x^{2}+1}{-x-2} =-\bigl(x+2\bigr)+\frac{5}{\,x+2\,}\;\xrightarrow[x\to-\infty]{}\;-\infty.
Em nenhum caso o limite tende a constante finita, logo não há assíntotas horizontais.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-2 e x=2.
Não existem assíntotas horizontais.

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