Encontre, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{|x|-2}
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{\lvert x\rvert -2}.
O conteúdo é análise de assíntotas de funções racionais com valor absoluto. Vamos precisar (1) achar onde o denominador se anula para possíveis assíntotas verticais e (2) estudar o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty para assíntotas horizontais.
Passo 2
Determinar o domínio e os pontos onde \lvert x\rvert -2=0.
Logo, o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\} e só há candidatos a assíntotas verticais em x=-2 e x=2.
Passo 3
Analisar o limite em x\to2. Para x perto de 2 (positivo), \lvert x\rvert =x, então o denominador é x-2.
— Se x\to2^-, x-2<0 e numerador \to2^2+1=5>0, logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=\frac{5}{\,x-2\,}=-\infty.
— Se x\to2^+, x-2>0, então
\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.
Portanto x=2 é assíntota vertical.
Passo 4
Analisar o limite em x\to-2. Para x perto de -2, \lvert x\rvert =-x, então o denominador é -x-2.
— Se x\to-2^- (ou seja, x<-2), então -x-2>0 e numerador \to5, logo
\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty.
— Se x\to-2^+ (ou seja, -2<x<0), então -x-2<0, resultando em
\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty.
Logo x=-2 também é assíntota vertical.
Passo 5
Estudar x\to\pm\infty para assíntotas horizontais.
Para x\to+\infty, \lvert x\rvert =x e