Verifique quais das funções abaixo são funções afins e classifique-as em afim, constante ou linear.
f: R \rightarrow R tal que f(x)=\frac{1}{3} x+\sqrt{5}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{1}{3}x+\sqrt{5}.
O que é pedido:
  • Verificar se essa função é uma função afim.
  • Classificá‑la como afim, constante ou linear.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A fórmula explícita de f(x) é \dfrac{1}{3}x+\sqrt{5}.
  • Não há outras condições ou restrições (domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Definição de função afim (explicação didática):
  • Dizemos que uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é afim se existe a,b\in\mathbb{R} tais que
f(x)=ax+b\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Aqui a é a inclinação (coeficiente angular, “slope”) da reta que é o gráfico de f, e b é o coeficiente linear (ordenada na origem, “intercepto em y”).
Aplicando essa definição à função dada: comparando
f(x)=\frac{1}{3}x+\sqrt{5}
com f(x)=ax+b, obtemos a=\dfrac{1}{3} e b=\sqrt{5}. Portanto a função tem exatamente a forma afim.

Passo 3

Conclusão imediata sobre ser afim:
  • Como a expressão está na forma ax+b com a=\dfrac{1}{3} e b=\sqrt{5}, a função é de fato uma função afim.
    Comentário: funções afins incluem tanto as funções lineares (quando b=0) quanto as funções com intercepto não nulo.

Passo 4

Definição e teste para função linear (no sentido de funções reais de uma variável):
  • No contexto de funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que costumam aparecer em provas, chamamos de linear a função da forma
f(x)=ax
ou seja, é um caso especial de função afim com b=0. Outra maneira de testar linearidade é verificar se f(0)=0 (porque toda função linear satisfaz isso).
Aplicando ao caso: aqui
f(0)=\frac{1}{3}\cdot 0+\sqrt{5}=\sqrt{5}\neq 0,
logo b\neq 0 e f não é linear. Também dá para ver pela propriedade de homogeneidade: para uma função linear deveríamos ter f(2x)=2f(x); porém
f(2x)=\frac{1}{3}(2x)+\sqrt{5}=\frac{2}{3}x+\sqrt{5}\neq 2\!\left(\frac{1}{3}x+\sqrt{5}\right)=\frac{2}{3}x+2\sqrt{5},
confirmando que não é linear.

Passo 5

Definição e teste para função constante:
  • Uma função é constante se existe c\in\mathbb{R} tal que f(x)=c para todo x. Na forma afim isso equivale a a=0 (pois f(x)=0\cdot x+b=b).
    No nosso caso a=\dfrac{1}{3}\neq 0, portanto f não é constante.

Passo 6

Interpretação geométrica e valores de exemplo (para fixar a ideia):
  • A função é uma reta com inclinação a=\dfrac{1}{3} (reta crescente suave) e intercepto em y igual a b=\sqrt{5} (aproximadamente 2{,}236\ldots).
  • Exemplos de valores:
f(0)=\sqrt{5},\qquad f(3)=\frac{1}{3}\cdot 3+\sqrt{5}=1+\sqrt{5},\qquad f(-3)=-1+\sqrt{5}.
Esses cálculos mostram que a reta não passa pela origem (porque f(0)\neq 0), reforçando que é afim mas não linear.

Passo 7

Dica rápida para a prova (prática):
  • Ao ver uma expressão do tipo ax+b, imediatamente leia os coeficientes: se b\neq 0 é afim não linear; se b=0 é linear; se a=0 é constante. Na prova, escreva a e b e aplique esse checklist — assim economiza tempo e acerta sem complicação.

Resposta

Afim: a=\tfrac{1}{3}, b=\sqrt{5}.
Classificação: afim (não linear, não constante).

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