Verifique se as funções abaixo são injetivas e/ou sobrejetivas. Em cada caso, determine Im(f).
(b) f:[1,4] [2,17], f(x)=x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para a função
fcolon[1,4]to[2,17], f(x)=x^2+1
verificar se é injetiva e/ou sobrejetiva e determinar Im(f). Vamos usar conceitos de monotonicidade para injetividade, imagem de intervalos para Im(f) e comparação com o contradomínio para sobrejetividade.

Passo 2

Para injetividade, estudamos a monotonicidade de f. Como f é diferenciável em [1,4] e
f'(x)=2x,
note que para todo xin[1,4] temos f'(x)=2x>0. Logo f é estritamente crescente em [1,4] e, portanto, é injetiva.

Passo 3

Para Im(f)=f([1,4]), basta avaliar f nos extremos do intervalo, pois f é contínua e estritamente crescente.
f(1)=1^2+1=2, f(4)=4^2+1=17
Logo
Im(f)=[2,17]

Passo 4

Como Im(f)=[2,17] coincide exatamente com o contradomínio dado [2,17], f é sobrejetiva.

Resposta

A função f é injetiva e sobrejetiva (logo bijetiva) e
Im(f)=[2,17]

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