Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R} dada por T(x, y, z)=x.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y,z)=x.
A pergunta é: verificar se T é uma transformação linear (ou seja, se T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar).

Passo 2

Vou explicar o que significa ser transformação linear (isso é o que preciso checar). Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
A primeira propriedade chama-se aditividade e a segunda chama-se homogeneidade (ou homogeneidade de grau 1). Verificar essas duas igualdades para a T dada é suficiente para concluir linearidade. Vou usar exatamente isso porque é o método mais direto e elementar.

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) vetores em \mathbb{R}^3. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T ao soma:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)=x_1+x_2.
Agora calcule T(u)+T(v):
T(u)+T(v)=T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2)=x_1+x_2.
Como as duas expressões coincidem, temos
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a aditividade está verificada.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1,z_1). Então
c\,u=(c x_1,\;c y_1,\;c z_1).
Aplicando T:
T(c\,u)=T(c x_1,\;c y_1,\;c z_1)=c x_1.
Por outro lado,
c\,T(u)=c\cdot T(x_1,y_1,z_1)=c\cdot x_1.
Como c x_1=c\cdot x_1, segue que
T(c\,u)=c\,T(u).
Logo a homogeneidade também está verificada.

Passo 5

Cheque rápido do vetor zero (propriedade derivada): o vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Aplicando T,
T(0,0,0)=0,
o que é consistente com qualquer transformação linear (uma consequência das propriedades anteriores). Isso serve como checagem extra.

Passo 6

Interpretação matricial (visão alternativa e útil na prova). A transformação T pode ser escrita como multiplicação por a matriz linha
A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix},
pois para (x,y,z) temos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=x=T(x,y,z).
Como toda aplicação dada por multiplicação por uma matriz é linear, isso confirma novamente que T é linear. Essa forma é prática para provas rápidas: identificar a matriz e declarar linearidade.

Passo 7

Conclusão e dica para a prova: verificamos explicitamente aditividade e homogeneidade, e também exibimos a matriz associada. Portanto T preserva soma e multiplicação por escalares, logo é transformação linear. Na prova, esse tipo de checagem direta costuma ser suficiente e rápida — basta escrever as contas como fiz acima.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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