Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
A pergunta é: verificar se
é uma transformação linear (ou seja, se
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar).
Passo 2
Vou explicar o que significa ser transformação linear (isso é o que preciso checar). Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
e
A primeira propriedade chama-se aditividade e a segunda chama-se homogeneidade (ou homogeneidade de grau
). Verificar essas duas igualdades para a
dada é suficiente para concluir linearidade. Vou usar exatamente isso porque é o método mais direto e elementar.
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
vetores em
. Então
Aplicando
ao soma:
Agora calcule
:
Como as duas expressões coincidem, temos
Portanto a aditividade está verificada.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
Aplicando
:
Por outro lado,
Como
, segue que
Logo a homogeneidade também está verificada.
Passo 5
Cheque rápido do vetor zero (propriedade derivada): o vetor zero em
é
. Aplicando
,
o que é consistente com qualquer transformação linear (uma consequência das propriedades anteriores). Isso serve como checagem extra.
Passo 6
Interpretação matricial (visão alternativa e útil na prova). A transformação
pode ser escrita como multiplicação por a matriz linha
pois para
temos
Como toda aplicação dada por multiplicação por uma matriz é linear, isso confirma novamente que
é linear. Essa forma é prática para provas rápidas: identificar a matriz e declarar linearidade.
Passo 7
Conclusão e dica para a prova: verificamos explicitamente aditividade e homogeneidade, e também exibimos a matriz associada. Portanto
preserva soma e multiplicação por escalares, logo é transformação linear. Na prova, esse tipo de checagem direta costuma ser suficiente e rápida — basta escrever as contas como fiz acima.
Resposta
Sim,
é uma transformação linear.