Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace
.
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e a definição de função harmônica.
Passo 2
Primeiro identificamos o conteúdo: funções de duas variáveis e equação de Laplace. Precisamos calcular
,
,
e
, e então somar
.
Passo 3
Calculamos
. Como
, definimos
. Então
Passo 4
Agora
. Diferenciando
em relação a
:
Passo 5
De modo análogo, calculamos
e depois
Passo 6
Somando as derivadas de segunda ordem:
Passo 7
Concluímos que
para todo
, ou seja,
é harmônica em
.
Resposta
A função
satisfaz
em todo o plano exceto na origem, logo é harmônica em
.