Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace ux x+uy y=0.
u=ln (x^2+y^2);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é harmônica, ou seja, se satisfaz a equação de Laplace uxx+uyy=0. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e a definição de função harmônica.

Passo 2

Primeiro identificamos o conteúdo: funções de duas variáveis e equação de Laplace. Precisamos calcular ux, uxx, uy e uyy, e então somar uxx+uyy.

Passo 3

Calculamos ux. Como u=ln(x^2+y^2), definimos r^2=x^2+y^2. Então
ux=partialpartial xln(r^2)=1r^2cdot2x=2xx^2+y^2

Passo 4

Agora uxx. Diferenciando ux=2x(r^2)^-1 em relação a x:
uxx=2cdot (r^2)^-1+2xcdot(-1)(r^2)^-2cdot2x=2r^2-4x^2r^4

Passo 5

De modo análogo, calculamos uy=2y/(r^2) e depois
uyy=2r^2-4y^2r^4

Passo 6

Somando as derivadas de segunda ordem:
uxx+uyy=(2r^2-4x^2r^4)+(2r^2-4y^2r^4)=4r^2-4(x^2+y^2)r^4=0

Passo 7

Concluímos que uxx+uyy=0 para todo (x,y)neq(0,0), ou seja, u é harmônica em R^2setminus0.

Resposta

A função u=ln(x^2+y^2) satisfaz uxx+uyy=0 em todo o plano exceto na origem, logo é harmônica em R^2setminus0.

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