Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace ux x+uy y=0.
u=x^3+3 x y^2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função u(x,y)=x³+3xy² satisfaz a equação de Laplace u_{xx}+u_{yy}=0. O que precisamos aqui é calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u e somá-las.

Passo 2

Primeiro calculamos u_x, a derivada de u em relação a x, e em seguida u_{xx}. Aplicando derivação termo a termo:
ux=partialpartial x(x^3+3xy^2)=3x^2+3y^2,
uxx=partialpartial x(3x^2+3y^2)=6x

Passo 3

Agora calculamos u_y e depois u_{yy}. Derivando em relação a y temos:
uy=partialpartial y(x^3+3xy^2)=6xy,
uyy=partialpartial y(6xy)=6x

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas obtemos a laplaciana de u:
uxx+uyy=6x+6x=12x

Passo 5

Como 12x não é identicamente zero (só seria zero na reta x=0), concluímos que u não satisfaz a equação de Laplace em toda a região.
Portanto, a função não é harmônica no plano, pois sua laplaciana não se anula de forma geral.

Resposta

A função não satisfaz a equação de Laplace, pois u_{xx}+u_{yy}=12x≠0.

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