Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função u(x,y)=x³+3xy² satisfaz a equação de Laplace u_{xx}+u_{yy}=0. O que precisamos aqui é calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u e somá-las.
Passo 2
Primeiro calculamos u_x, a derivada de u em relação a x, e em seguida u_{xx}. Aplicando derivação termo a termo:
Passo 3
Agora calculamos u_y e depois u_{yy}. Derivando em relação a y temos:
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas obtemos a laplaciana de u:
Passo 5
Como 12x não é identicamente zero (só seria zero na reta x=0), concluímos que u não satisfaz a equação de Laplace em toda a região.
Portanto, a função não é harmônica no plano, pois sua laplaciana não se anula de forma geral.
Portanto, a função não é harmônica no plano, pois sua laplaciana não se anula de forma geral.
Resposta
A função não satisfaz a equação de Laplace, pois u_{xx}+u_{yy}=12x≠0.