Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função a seguir
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função
e, depois, esboçar o gráfico dela. Vamos trabalhar com funções racionais, que são tipos de funções que envolvem frações onde o denominador é um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber como esboçar o gráfico de funções simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função
, vemos que há uma fração com
no denominador. Sabemos que não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que o denominador não seja igual a zero.
Então, vamos resolver:
Isso significa que qualquer valor de
é permitido, exceto quando
. Portanto, o domínio da função é todos os números reais menos
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir. A nossa função é
. Vamos analisar os possíveis valores de
.
Como
pode ser qualquer número real diferente de
, o denominador
também pode assumir qualquer valor real, exceto zero. Isso significa que
pode ser qualquer número real exceto zero, porque
nunca será igual a zero (não há nenhum
que faça
).
Portanto, a imagem da função é todos os números reais menos zero.
Passo 4
Por último, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que essa é uma função racional que se assemelha a uma hipérbole.
-
Assíntote vertical: Como
não pode ser igual a , o gráfico terá uma linha vertical em que ele nunca toca. Essa é a nossa assíntote vertical. -
Assíntote horizontal: Conforme
se aproxima de por valores positivos ou negativos, se aproxima de infinito ou menos infinito. Além disso, quando tende para positivo ou negativo infinito, se aproxima de zero. Portanto, a linha (o eixo ) é uma assíntote horizontal. -
Comportamento do gráfico: Para
, será positivo e diminuirá à medida que aumenta. Para , será negativo e aumentará (ficará menos negativo) à medida que diminui.
Assim, o gráfico terá duas ramificações: uma no primeiro quadrante (onde
e
) e outra no terceiro quadrante (onde
e
), ambas aproximando-se das assíntotes.
Resposta
Domínio: Todos os números reais exceto
.
Imagem: Todos os números reais exceto zero.
Gráfico: Uma hipérbole com uma assíntote vertical em
e uma assíntote horizontal em
, apresentando duas ramificações nos quadrantes correspondentes.