Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função a seguir
h(x)=1x-e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função e, depois, esboçar o gráfico dela. Vamos trabalhar com funções racionais, que são tipos de funções que envolvem frações onde o denominador é um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber como esboçar o gráfico de funções simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x - e neq 0 para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função x neq e , vemos que há uma fração com no denominador. Sabemos que não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que o denominador não seja igual a zero.
Então, vamos resolver:
Isso significa que qualquer valor de é permitido, exceto quando . Portanto, o domínio da função é todos os números reais menos .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir. A nossa função é . Vamos analisar os possíveis valores de .
Como pode ser qualquer número real diferente de , o denominador também pode assumir qualquer valor real, exceto zero. Isso significa que pode ser qualquer número real exceto zero, porque nunca será igual a zero (não há nenhum que faça ).
Portanto, a imagem da função é todos os números reais menos zero.

Passo 4

Por último, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que essa é uma função racional que se assemelha a uma hipérbole.
  • Assíntote vertical: Como não pode ser igual a , o gráfico terá uma linha vertical em que ele nunca toca. Essa é a nossa assíntote vertical.
  • Assíntote horizontal: Conforme se aproxima de por valores positivos ou negativos, se aproxima de infinito ou menos infinito. Além disso, quando tende para positivo ou negativo infinito, se aproxima de zero. Portanto, a linha (o eixo ) é uma assíntote horizontal.
  • Comportamento do gráfico: Para , será positivo e diminuirá à medida que aumenta. Para , será negativo e aumentará (ficará menos negativo) à medida que diminui.
Assim, o gráfico terá duas ramificações: uma no primeiro quadrante (onde e ) e outra no terceiro quadrante (onde e ), ambas aproximando-se das assíntotes.

Resposta

Domínio: Todos os números reais exceto .
Imagem: Todos os números reais exceto zero.
Gráfico: Uma hipérbole com uma assíntote vertical em e uma assíntote horizontal em , apresentando duas ramificações nos quadrantes correspondentes.

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