Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação da onda unidimensional, em coordenadas cartesianas. Justifique a sua resposta.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função $ u(x, t) = \cos (\pi t) $ satisfaz a equação da onda unidimensional em coordenadas cartesianas. Para isso, precisamos conhecer a equação da onda e calcular as derivadas parciais da função em relação a $ t $ e $ x $.
Passo 2
A equação da onda unidimensional é dada por:
onde $ c $ é a velocidade da onda. Nosso objetivo é verificar se a função $ u(x, t) = \cos (\pi t) $ satisfaz essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ t $ e $ x $.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação ao tempo $ t $:
A primeira derivada em relação a $ t $ é:
A segunda derivada em relação a $ t $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação ao espaço $ x $:
Perceba que a função não depende de $ x $. Portanto:
E consequentemente,
Passo 5
Substituindo as derivadas calculadas na equação da onda:
Simplificando, temos:
Passo 6
Para que a equação seja satisfeita para todos os valores de $ t $, o lado esquerdo da igualdade deve ser igual a zero. No entanto, $ -\pi^2 \cos(\pi t) $ não é igual a zero para todos os $ t $. A igualdade só seria verdadeira se $ \cos(\pi t) = 0 $, o que não ocorre para todos os valores de $ t $.
Resposta
A função $ u(x, t) = \cos(\pi t) $ não satisfaz a equação da onda unidimensional.